高考必做创新题――定义信息题

集合运算型

（）必做1 对于任意的两个正数m，n，定义运算：当m，n都为偶数或奇数时，mn=；当m，n为一奇一偶时，mn=，设集合A=｛（ａ，ｂ）ａｂ＝６，ａ，ｂ∈N｝，则集合A中的元素个数为_____．

精妙解法 由题意得，（1）当a，b都为偶数或都为奇数时，=6a+b=12，此时a，b∈｛｛2，10｝，｛4，8｝，｛6｝｝或a，b∈｛｛1，11｝，｛3，9｝，｛5，7｝｝，符合题意的点（a，b）有（2×2＋1）+3×2=11个；

（2）当a，b为一奇一偶时，=6ab=36，此时a，b∈｛｛1，36｝，｛3，12｝，｛4，9｝｝，符合题意的点（a，b）有3×2=6个．

综上，集合A中的元素共有17个．

极速突击 解决此类问题常分为三大步骤：（1）对新定义进行信息提取，确定化归的方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；（3）对定义中提出的知识进行转换，有效地输出，其中对定义信息的提取和化归转化是解题的关键，也是解题的难点．

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集合的创新题常以定义新的运算为主. 由于集合知识本身不难，故此类试题一般难度不大，属于易得分题目，但在求解过程中，有些同学却“大意失荆州”. 为此，大家要注意两点. 首先，此类试题一般都不会再延续集合的原有运算，但是如果涉及集合，则集合中元素的性质是不可丢失的，故要注意对集合中元素性质的应用. 其次，此类试题还以考查逻辑思维能力为主，一般不会存在较大量的计算，故在求解过程中要重视审题，重视对定义的理解和运用.

函数性质型

（）必做2 设函数y＝f（x）在（a，b）上的导数为f ′（x）， f ′（x）在（a，b）上的导数为f ″（x），若在（a，b）上，f ″（x）

精妙解法 由函数f（x）＝x4－mx3－x2得， f ′（x）＝x3－mx2－3x，f ″（x）＝x2－mx－3． 若f（x）为区间（－1，3）上的“凸函数”，则有f ″（x）＝x2－mx－3

极速突击 此类试题内容不多，而且给出的信息定义也比较明确易懂，求解此类试题的关键在于寻找“类比”的对象，即将所求问题类比为所掌握的熟悉的试题类型，从而能够应用已有的思想方法进行求解，保证解题的准确性和效率．

（）必做3 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看做同一个“友好点对”）． 已知函数f（x）=2x2+4x+1，x

精妙解法 由题意，在函数f（x）=上任取一点A（a，b），则该点关于原点对称的点B（－a，－b）在函数f（x）=2x2+4x+1上，故b=，－b=2a2－4a+1，所以有=－2a2+4a－1（a≥0）． 令g（x）=，h（x）=－2x2+4x－1（x≥0），由图象可知：f（x）的“友好点对”有2个．

极速突击 解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．

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函数性质型的创新试题，在很大程度上都是在已有函数性质的基础上进行研究的. 因此，熟练掌握和应用基本初等函数的图象及性质是求解此类题型的关键. 在具体的求解过程中同学们要熟练地应用各类数学方法，如排除法、特殊值法、图象法等，而且要能够应用相应的数学思想解题，还要能应用转化的数学方法，将新题型转化为熟悉的题型进行求解.

数列定义型

（）必做4 在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积． 若数列是等积数列，且a10=2，公积为6，则a1・a5・a9…a2005=__________．

精妙解法 先对等积数列进行一般性的探讨． 设｛an｝是等积数列，公积为m，则由等积数列的定义知，数列｛an｝的各项依次为a1，，a1，，…，即an=a1，n为奇数，，n为偶数.由2005=1+（n－1）・4可得：n=502． 又因为a10=2，公积为6，所以a1=3，a1・a5・a9…a2005=3502．

极速突击 抓住给出的信息，观察数列的规律，总结出项数与项之间的关系，求出通项公式．

（）必做5 设m>3，对于有穷数列｛an｝（n=1，2，…，m）， 令bk为a1，a2，…，ak中的最大值，称数列｛bn｝为｛an｝的“创新数列”． 数列｛bn｝中不相等项的个数称为｛an｝的“创新阶数”． 例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7，创新阶数为3．

考察自然数1，2，…，m（m>3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列｛cn｝．

（1）若m=5，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列｛cn｝.

（2）是否存在数列｛cn｝，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列｛cn｝，若不存在，请说明理由.

（3）在创新阶数为2的所有数列｛cn｝中，求它们的首项的和．

精妙解法 （1）由题意，创新数列为3，4，4，5，5的数列｛cn｝有两个，即：

数列3，4，1，5，2；数列3，4，2，5，1．

（2）存在数列｛cn｝，它的创新数列为等差数列．

设数列｛cn｝的创新数列为｛en｝（n=1，2，…，m），因为em为c1，c2，…，cm中的最大值． 所以em=m．

由题意知：ek为c1，c2，…，ck中最大值，ek+1为c1，c2，…，ck，ck+1中最大值，所以ek≤ek+1，且ek∈｛1，2，…，m｝． 若｛en｝为等差数列，设其公差为d，则d=ek+1－ek≥0，且d∈N，当d=0时，｛en｝为常数列，又em=m，所以数列｛en｝为m，m，…，m，此时数列｛cn｝是首项为m的任意一个符合条件的数列；

当d=1时，因为em=m，所以数列｛en｝为1，2，3，…，m，此时数列｛cn｝是1，2，3，…，m；

当d≥2时，因为em=e1+（m－1）d≥e1+（m－1）×2=2m－2+e1，又m>3，e1>0，所以em>m，这与em=m矛盾，所以此时｛en｝不存在，即不存在｛cn｝使得它的创新数列为d≥2的等差数列． 综上，当数列｛cn｝为：

（1）首项为m的任意符合条件的数列；

（2）数列1，2，3，…，m时，它的创新数列为等差数列．

（3）设｛cn｝的创新数列为｛en｝（n=1，2，…，m），由（2）知，em=m，由题意，得e1=c1，所以当数列｛cn｝的创新阶数为2时，｛en｝必然为c1，c1，…，c1，m，m，…，m（其中c1

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数列的定义、等差数列的定义、等比数列的定义是高考对数列考查的重点内容之一，但是单纯地考查已经远远不能满足课标中对能力的要求，故常常会以一种信息题的方式加以考查，但是只要我们抓住数列定义的本质，则可“以不变应万变”，顺利求解. 关于数列问题建议同学们熟练地掌握各个数列定义的同时，还要能够熟练掌握和应用相关的性质，也要能够掌握常见题型的解法，同时注意类比思维能力的培养，注重从多角度来思考问题.

其他类型

（）必做6 若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“良数”． 例如：32是“良数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“良数”，因23+24+25产生进位现象． 那么，小于1000的“良数”的个数为（ ）

A． 27B． 36 C． 39 D． 48

精妙解法 首先考虑个位，个位上的数字式相连续的三个数字之和，要满足其要求，只需满足n+（n+1）+（n+2）

极速突击 本题本质上属于排列组合的信息题，求解过程中要考虑特殊元素和位置，满足特殊优先的原则． 求解此类问题首先要做的就是“对号”，即是将问题归类为相应的知识模块，其次是利用相应的模块知识进行求解．很多的信息题不过是在原有的问题的基础上披了一件“新衣服”，我们要得到问题的实质就必须通过观察、研究去发现问题的本质，还原其本来的面目．

（）必做7 对于直角坐标平面内的任意两点A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），定义它们之间的一种“距离”： AB=x2－x+y－y. 给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则AC+CB=AB；

②在ABC中，若∠C=90°，则AC2+CB2=AB2；

③在ABC中，AC+CB>AB．

其中真命题是________．

精妙解法 对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：AB=x2－x+y－y.

①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1，x2之间，y在y，y之间，则AC+CB=x0－x1+y－y+x2－x0+y－y=x2－x+y－y=AB.

③在ABC中，AC+CB=x0－x1+y－y+x2－x0+y－y＞（x0－x1）+（x2－x0）+（y－y）+（y－y）=x2－x+y－y=AB.

所以命题①③成立，而命题②在ABC中，若∠C=90°，则AC2+CB2=AB2，明显不成立．

极速突击 对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求． 但是，透过现象看本质，命题①中的本质是三点共线，点C在线段AB之间，①显然成立；命题③由两边之和大于第三边，显然成立． 它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是我们的制胜法宝．

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新定义型的信息题，可依附于很多的知识进行命制，常见的分为七类，涉及了集合、函数、数列、程序框图、向量、排列组合、概率.求解这些类题型的共同点：（1）审题. 通过审题要能够准确地理解定义、获取题中有利于解题的条件；（2）转化. 是将问题转化为所熟悉的问题类型；（3）应用逻辑分析能力、发散思维能力各类数学思想和方法进行求解问题.