城乡居民收入与消费的长期均衡及短期波动实证研究

内容摘要：目前，收入与消费关系问题引起了人们的广泛关注。函数性典型相关分析方法是研究人均可支配收入与人均消费性支出关系的一项非常有效的手段。研究发现，目前，我国城镇居民家庭的人均可支配收入与人均消费性支出之间具有很强的相关性。但是，它们之间的相关形式会随着地区经济差异的变化而变化。实践证明，与其它分析方法相比，函数性典型相关分析方法具有其无法比拟的优势，不仅具有适合经济数据分析的良好特性，而且便于充分挖掘一些新的经济规律。

关键词：消费函数 面板数据 曲线相关 典型相关分析

目前，国内的专家学者加大了对收入与消费关系的研究力度，获得了许多具有现实价值的研究成果。但是，目前的研究还是侧重于收入对消费的单向影响，如凯恩斯的绝对收入假说、弗里德曼的持久收入假说、杜森贝利的相对收入假说等。这些研究成果具有普遍性与抽象性的特点，对世界经济的发展做出了巨大的贡献。然而，从理论层面讲，收入与消费是一种辩证的关系。一方面，收入决定消费；另一方面，消费也会影响收入。在实践中，应当对两者的辩证关系形成统一的认识，才能更充分地发挥收入与消费的功效。

函数性典型相关的构建与分析算法

长期以来，人们一直采用传统的典型相关分析来研究两组变量之间的关系。但是，这种方法在应用的过程中有很大的局限性，只能根据截面数据而不能根据面板数据来研究变量间的相关关系。应用函数性典型相关分析方法使得对变量间相关关系的认识更加科学透彻，便于得出合理有效的结论。与传统多元统计分析相比，函数性典型相关分析虽然与其原理相同，但在分析算法上有着明显的差别。

（一）函数性典型相关的构建

假设存在函数X与函数Y，对其T区间内的数值进行N次观测，并最终获得了N对观测曲线（X1，Y1）…（Xn，Yn）。同时，假设典型变量权重函数为ξ和η以及总体均值曲线是已知的。在这种情况下，样本方差与协方差曲线的函数表达式为：

（1）

接着对V11、V12、V22进行相应的定义，此时，V11f（f为t的函数表达式）和ccorsq（ξ，η）（表示样本相关系数的平方）的函数表达式分别为：

关于典型变量的求解问题，它容易让人产生一种错觉，认为只要找到使ccorsq（ξ，η）产生最大值的函数ξ1和η1即可。在这种错误的认识下，这个问题被转化为求解约束条件下地最大值问题，其函数表达式为：

（2）

其实，实践结果证明，这种运算并不能提供任何有价值的信息。应对这个问题，必须借助于函数典型相关分析的方法。具体而言，需要通过函数典型相关分析对其施加正则化。其理由有：一是它能有效地避免计算崩溃问题；二是它能有效地解决自协方差算子与逆矩阵不存在的问题；三是它能有效地克服典型相关等于1的问题。

为了获得有价值的结果，在施加正则化的过程中，通常会采用粗糙惩罚法。具体而言，先通过II D2f II2（二阶导数积分的平方）来量化粗糙程度，然后在条件成熟的情况下施加周期性边界条件。这个过程与岭回归技术非常相似，其函数表达式为：

在II D2f II2=（D2f，D2f）=（f，D4f）的情况下，上式等同于以下函数表达式：

（3）

进一步讲，因为在将粗糙惩罚项加入到约束项以后，候选典型变量的评估既要考虑方差因素，又要考虑粗糙性因素。所以，上式又可以转化为惩罚样本相关系数平方最大化的求解问题，其函数表达式为：

（4）

在现实中，将上式的求解过程称之为平滑典型相关分析。求解结果发现，（ξ，η1）是上式最大化的函数。同时，它也是以下方程组的相应的特征函数。

（5）

其中，λ表示平滑参数，它对典型变量的选择会产生重要影响。如果λ的值偏大，就会导致典型变量向重视粗糙惩罚方面倾斜。因此，选择合适的λ，是获得合理典型变量的前提条件。在实践中，λ的选择既可以通过主观的办法，也可以通过自动的办法。在一般情况下，只需要研究λ1=λ2=λ的特殊情况即可。除此之外，如果第一对典型变量不能实现预期目的，就可以通过求其次要的典型变量来实现。具体而言，通过（5）式给出的次要的典型相关系数以及典型变量的权重函数，采用与第一对典型变量相同的办法来求解。

（二）函数性典型相关的分析算法

在实践中，可以通过多种方式进行函数典型相关分析。概括起来讲，经常采用以下几种数值方式：

离散化方法。离散化方法是一种比较常用的函数典型相关分析算法。它先将复杂的问题划分成若干个子区域，然后通过诸多函数形式来逼近待求变量的分布。在这个过程中，它将复杂的问题简单化，提高了运算的效率。具体到离散化方法在函数典型相关分析中的应用，它通过细网格的形式，将函数ξ、函数η与协方差算子进行离散，并将算子D4替代为有限的差分近似。

基函数方法。基函数方法是另一种比较常用的函数典型相关分析算法。它通过一个相同的基，将函数以及权重函数展开。假设M表示基，K与J表示元素的矩阵。在这种情况下，如果这个基是傅立叶基或其它正交基，那么J就可表示为单位阵。进一步讲，如果函数Xi与函数Yi的基展开系数矩阵为C与D，那么函数Xi与函数Yi可以表示为：

如果函数ξ与函数η的基展开系数向量为A与B，以及相应的方差与协方差矩阵为V11、V12和V22，那么它们的（v，ρ）元素分别可以表示为：

和

此时，如果将基展开，那么函数性典型相关问题就可以转换为方程组特征值的求解问题。这个方程组的表达式为：

在具体操作过程中，要想有效地控制正则化，首先要保证基函数的数目。一般情况下，这个数目保持在20左右比较合适，这样不会带来额外的运算负担。

粗糙惩罚方法。如果假设zi=（ξ，Xi）为一个典型变量，那么就可以定义一个矩阵RX，用来观察zi的粗糙程度，其函数表达式为II D2ξII2=z`Rxz。同时，如果假设wi=（η，Yi）为一个典型变量，那么就可以定义一个矩阵Ry， 用来观察wi的粗糙程度，其函数表达式为II D2ξII2=w`Ryw。此时，RX与Ry为广义逆矩阵，可以将函数性典型相关问题转换为以下问题：

（6）

可以将上式进一步简化，将其转化为方程组特征值的求解问题。这个方程组的表达式为：

（7）

通过上式的求解过程发现，这个方程组的任何解都会符合以下表达式：

除此之外，在（7）式第二大特征值的求解过程中，还应当对其附加以下约束条件：

（8）

通过以上的运算，（7）式第二个及其以后的特征解就是要求解的典型变量。

中国城镇人均可支配收入与人均消费性支出关系的再认识

函数性典型相关构建与分析算法的研究，为进一步认识中国城镇人均可支配收入与人均消费性支出的关系打下了坚实的理论基础。基于此，本文选用了1995-2010年间29个城镇居民家庭的人均可支配收入和人均消费性支出的面板数据，作为研究它们之间相互关系的第一手资料。

在研究过程中，人均可支配收入与人均消费性支出的关系会受到诸多因素的影响。其中，经济发展水平差异的影响是比较显著的。为了排除该因素的影响，笔者从整体上计算了这些地区人均可支配收入与人均消费性支出的平均曲线以及导数曲线。研究发现，人均可支配收入与人均消费性支出的变化趋势相同，呈现出正相关关系。具体而言，它们的关系表现在以下几个方面：在平均曲线方面，随着时间的推移，它们都呈现不断上升的趋势，但人均可支配收入的值一直高于人均消费性支出的值。在一阶导数曲线方面，人均可支配收入的增长速度一直高于人均消费性支出的增长速度，但2005年以后的增长速度明显快于2005年以前的增长速度。在二阶导数曲线方面，在2005年以前，人均可支配收入与人均消费性支出的增长速度缓慢；在2005年以后，人均可支配收入与人均消费性支出的增长速度明显加快，而且呈不断上升的趋势。

为了进一步明确两者的关系，需要计算两者的典型变量权重函数。研究发现，人均可支配收入与人均消费性支出的变化模式具有很强的相关性。但是，它们相关性的体现方式既有相同的方面又有不同的方面。它们的相同点主要体现在：首先，1995-2000年，两者都低于平均水平且程度在逐渐降低；其次，2000-2005年，两者都高于平均水平但程度呈现先增后减的特点；最后，2005-2010年，两者都低于平均水平且程度呈现先增后减的特点。它们的不同点主要体现在：第一对典型变量权重函数的人均可支配收入的变化优先于人均消费性支出的变化，但变动程度相对较小；第二对典型变量权重函数的人均消费性支出的变化优先于人均可支配收入的变化；第三对典型变量权重函数的人均可支配收入的变化优先于人均消费性支出的变化，但变动程度相对较大。

通过上文的分析，可以得出这样的结论：一方面，我国29个城镇居民家庭的人均可支配收入与人均消费性支出之间具有很强的相关性；另一方面，随着时间的推移，这种相关形式会随着地区经济差异的变化而变化。从另一个角度讲，伴随着社会经济的不断发展，我国城镇居民家庭的消费水平会呈现多样化的发展特点，这给我国的市场经济发展带来了新的契机。具体而言，在人均可支配收入较高的地区，人均消费性支出的变化不是完全归结于人均可支配收入的变化。相反，在有些情况下，人均消费性支出的变化还会引起人均可支配收入的变化。在人均可支配收入中等或较低的地区，提高人均可支配收入水平是提高居民人均消费性支出水平的必然选择。

结论

综上所述，在基于数学函数相关性的情况下，收入与消费关系的研究是一项非常系统的工程。要想将该项工程做好，就要重点做好这样几项工作：首先，要对函数性典型相关分析方法的基本理论有一个清晰的认识；其次，要对函数性典型相关的构建与分析算法有一个准确的分析；最后，要结合着我国城镇人均可支配收入与人均消费性支出的变化情况，科学地归纳与分析出两者间的辩证关系。只有这样，才能真正地实现我国市场经济又好又快的发展。

参考文献：

1.郭新华，李勇辉，伍再华.现代西方消费函数理论前沿与发展研究[J].生产力研究，2006（1）

2.严明义.函数性数据的统计分析：思想、方法和应用[J].统计研究，2007（2）

3.朱建平.应用多元统计分析[M].科学出版社，2006

4.Brumback B A，Rice J A.Smoothing spline models forthe analysis of nested and crossed samples of curves（with Discussion）[J].Journal of the American Statisti-cal Association，1998（93）

5.Davidian M，Lin X，Wang J L.Introduction EmergingIssues in longitudinal and Functional Data Analysis[J].Statistical Sinica，2004（14）

6.Ramsey J O.Functional components of variation in hand-writing[J].Journal of the American Statistical Associa-tion，2000（92）

7.Ramsay J，Silverman B.Functional data analysis[M].New York Springer，2005