动态探究问题解析

动态探究问题,常常集几何、代数知识于一体,运用数形结合的数学思想方法,具有较强的甄选功能,可谓是中考“热点命题”中的“热点”.对考生而言,能力要求更高.本文选取中考试题中涉及二次函数的动态探究问题分类采撷数例,并予以解析,供读者学习鉴赏.

一、先利用几何图形的性质构建二次函数关系式,再解决相关问题

这类问题的典型特征是:题中并没有出现“二次函数”或“抛物线”字样,但所求解的问题必须先根据几何图形的性质构建出二次函数关系式,再利用二次函数的性质予以解答.所求解的问题多与二次函数最值有关.

例1(济南市)已知:如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=90C=CD=10,sinC=.

(1)求梯形ABCD的面积;

(2)点E,F分别是BC,CD上的动点,点E从点B出发向点 C运动,点F从点C出发向点D运动,若两点均以每秒1个单位的速度同时出发,连接EF.求EFC面积的最大值,并说明此时E,F的位置.

分析:(1)欲求梯形的面积,梯形的下底长BC=10,因此,需求出梯形的上底和高;(2)欲求EFC的最大面积,这个三角形只有∠C是固定的,各边之长都是随E、F的变化而变化,这又与动点E、F运动的时间相关联.至此,需先建立EFC的面积与两个点运动的时间的函数关系式,再根据函数关系式求其最大面积.

解答:(1)如图2,过点D作DMBC,垂足为M,在 RtDMC中, DM=CDsinC=10,CM===6,BM=BC-CM=10-6=4, AD=4;S梯形ABCD=(AD+BC)DM=(4+10)=56;(2)设运动时间为x秒,则有BE=CF=x,EC=10-x,过点F 作FNBC,垂足为N,在RtFNC中,FN=CF SinC=x,SEFC=EC•FN=(10-x)=-x2+4x,当x=-=5时,即SEFC=-2+4=10,即EFC面积的最大值为10.此时,点E,F分别在BC,CD的中点处.

评注:在求解第(2)小题时,想到用含自变量x的代数式表示出EC边上的高FN,是解题的关键.

二、先利用待定系数法求出二次函数关系式,进而解决问题

这类问题的典型特征是:题中已出现“二次函数”或“抛物线”字样,要求解题者先利用待定系数法求出二次函数关系式,再解决有关问题.最后所要求解的问题多与“探究存在型”题目相联系.

例2(河南省)如图3,对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).

(1)求抛物线解析式及顶点坐标;

(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求OEAF的面积s与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

①当OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?

②是否存在点E,使OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

分析:第(1)小题为基础题目,已知抛物线的对称轴和两点坐标,利用待定系数法可求出该抛物线的解析式;(2)OEAF的面积S等于OAE的2倍,而SOAE=OA|y|,又点E在抛物线上,再利用第(1)小题的结论将y转化为x就可得到s与x的函数关系式;

①小题的解答需要由x=24求出E点的具体坐标,计算出OE、AE线段长,若OE=AE,则OEAF是菱形,否则不是;②小题的解答用“探究存在型”的解题策略解答.

解:(1)设解析式为y=a(x-)2+k.把A,B两点坐标代入上式,得解之,得a=,k=-.故抛物线解析式为y=(x-)2-,顶点为(,-).

(2)点E(x,y)在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合y=(x-)2-,y0 ,-y表示点E到OA的距离.OA是OEAF的对角线,S=2SOAE=2A|y|=-6y=-6(x-)2-],即s=-4(x-)2+25.因为抛物线与x轴的两个交点是(1,0)和(6,0),所以,自变量x的取值范围是1

①根据题意,当S=24时,即-4(x-)2+25=24.化简,得(x-)2=.解之,得x1=3,x2=4.故所求的点E有两个,分别为E1(3,-4),E2(4,-4).点E1(3,-4) 满足OE=AE,OEAF是菱形;点E2(4,-4)不满足OE=AE,所以 不是菱形.

②当OAEF,且OA=EF时,OEAF是正方形,此时点E的坐标只能是(3,-3).而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,使OEAF为正方形.

评注:求解类似例2这类的“动态探究题”,必要时,要注意将运动过程中的各个时刻的图形进行分类画图,由“动”变“静”,同时要善于抓住在运动中某一特殊位置的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系以及特定的限制条件.