平面解析几何易错题剖析

解析几何的内容主要是直线与方程，圆与方程和平面直角坐标系及圆锥曲线，该部分内容是整个解析几何的基础，在复习过程中要强化易错问题的教学与练习，以下简要谈谈一些常见易错问题及解决方法.

一、忽视直线截距为0的情况

例1 直线l经过点P（3，4）且在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程.

错解：由题知直线l在两坐标轴上截距相等，则可设直线l方程为xa+ya=1，

由直线l过点P（3，4），则3a+4a=1，解得a=7，所求直线方程为x+y-7=0.

剖析：错解中设的直线方程是以截距不为0为前提的，这里忽略了截距为0的情况.

正解：由题知直线l在两坐标轴上截距相等.

①当直线l的截距不为0时，可设xa+ya=1，由直线l过点P（3，4），则3a+4a=1解得a=7，所求直线方程为x+y-7=0.

②当直线l在两坐标轴截距都为0时，满足此时直线方程为y=43x.

综上所求直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0.

二、忽视直线斜率不存在的情况

例2 已知直线l过点P（0，-1）且被圆（x+3）2+（y-5）2=25截得弦长为8，求直线l的方程.

错解：设直线l方程为y=kx-1，由直线l截圆（x+3）2+（y-5）2=25所得弦长为8，圆半径为5，得圆心（-3，5）到直线距离为3，由|-3k-5-1|k2+1=3，得k=-34.

所求直线方程为y=-34x-1，即3x+4y+4=0.

剖析：应先考虑斜率不存在的情况.

正解：①当斜率存在时设直线l方程为y=kx-1，算得直线方程为3x+4y+4=0.

②当斜率不存在时，易得直线方程为x=0.

综合得：直线为3x+4y+4=0或x=0.

三、对概念认识不清，深度不够

例3 （2012江苏高考第12题）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为 .

错解：令|4k-0-2|1+k2=4得k=-34，……无法继续下去.

剖析：未能深刻理解直线与圆、圆与圆的位置关系，直线在动，还有一个存在性量词“至少存在一点”，无所适从.

正解1：设圆C的方程（x-4）2+y2=1，它的圆心为C（4，0），半径为r=1.因为直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，不妨设这个点为M（t，kt-2），即为动圆圆心，因为圆M与圆C有公共点，所以两圆的圆心距CM≤1+1=2，即（t-4）2+（kt-2）2≤2，整理得（k2+1）t2-4（k+2）t+16≤0

该不等式一定有解，所以Δ=[-4（k+2）]2-4×（k2+1）×16≥0，整理得3k2-4k≤0，解得0≤k≤43.因此k的最大值是43.

正解2：由题意，在直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆C上点到直线y=kx-2的最小距离不大于1，从而圆心C到直线y=kx-2的最小距离不大于1+1=2，所以|4k-2|k2+（-1）2≤2，整理得3k2-4k≤0，解得0≤k≤43.因此k的最大值是43.

正解3：设M为直线y=kx-2上一点，如果以M为圆心，1为半径的圆M与圆C有公共点，不妨设P为一个公共点，则|MP|=1，|CP|=1于是得|MC|

四、忽视轨迹上不满足条件的点

例4 等腰ABC的顶点A（4，2），底边一点B（3，5），求它的底边另一端点C的轨迹方程.

错解：显然，动点C到定点A（4，2） 的距离等于定长AB=10，故动点C的轨迹方程是（x-4）2+（y-2）2=10，（x≠3且x≠5）.

剖析：在求满足一定条件的点的轨迹方程时，要特别注意去掉轨迹上的不满足条件的点.错解虽然考虑了，但x≠3且x≠5是错误的.

正解：动点C的轨迹方程是（x-4）2+（y-2）2=10，点（3，5）和（5，-1）除外.

五、忽视隐含条件

例5 动点M到点F（4，0）的距离比它到直线x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程.

错解：设动点M的坐标为（x，y），

则（x-4）2+y2=|x+6|-2.

当x≥-6时，方程化y2=16x；

当x

故动点M的轨迹方程是y2=16x和y2=24（x+2）.

剖析：显然，当x

正解：动点M的轨迹方程是方程化y2=16x.

六、忽视取值范围，没有分类讨论

例6 设双曲线的中心在坐标原点，准线平行于x轴，离心率为52，若P（0，5）到双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.

错解：由e=52得a=2b，则双曲线的方程可设为y24b2-x2b2=1，若P（0，5）到双曲线上的点Q（x，y）的距离为d，则d2=x2+（y-5）2=14（y2-4b2）+（y-5）2=54（y-4）2+5-b2，所以，当y=4时，（d2）min=5-b2=4，b2=1，a2=4，所求双曲线方程为y24-x2=1.

剖析：由双曲线的范围可知y≥2b，b应视为参数，在求d2的最小值时，必须分情况讨论.

正解：由上可知d2=54（y-4）2+5-b2，

若4≥2b，即0

若42，则当y=2b时，（d2）min=4b2-20b+25=4，解得b=72或b=32（不合题意），这时a2=49，所求双曲线方程为y249-4x249=1.

（作者：王家珊，江苏省盱眙中学）