动中求静 变中求定

解几中的定点定值问题一直是数学高考中的热点问题，同学们在解这类问题时常常觉得无从下手，找不到入手点，其关键是不能从动中求静，在变中求定.下面笔者就从定点问题和定值问题两个方面谈谈解几种定点、定值问题的常见题型及其解法.

一、定点问题

1.与直线有关的定点问题

与直线有关的定点问题常常通过问题的转化化归为过定点的直线系问题.即直线方程λ（A1x+B1y+C1）+μ（A2x+B2y+C2）=0（λ、μ不同时为零）所表示的直线是过两直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线.求出两直线的交点即为所求定点.

例1 已知椭圆C1：x22+y2=1和圆C2：x2+y2=1，椭圆下顶点分别为B，点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点.

证明：据题意直线BM、BN的斜率一定存在，设它们分别为k，2k.

则直线BM的方程为y=kx-1，与椭圆的方程联立可解得点M的坐标为（4k2k2+1，4k22k2+1-1），

直线BN的方程为y=2kx-1，与圆的方程联立可解得点N的坐标为（4k4k2+1，8k24k2+1-1），

直线MN的方程为y-4k22k2+1+18k24k2+1-4k22k2+1=x-4k2k2+14k4k2+1-4k2k2+1，即x+2ky-2k=0.

则该直线恒过定点（0，1）.

2.与圆及圆锥曲线有关的定点问题

与圆有关的定点问题常常通过问题的转化化归为过定点的圆系问题.即方程x2+y2-r2+μ（Ax+By+C）=0在直线l：Ax+By+C=0与圆C：x2+y2=r2相交时，所表示的是过直线l：Ax+By+C=0与圆C：x2+y2=r2交点的圆.求出直线与圆的交点即为所求定点.

例2 已知圆O：x2+y2=4与x轴交于A、B两点，P是圆O上一异于A、B的动点，直线PA、PB分别与直线x=4交于M、N两点，求证：以MN为直径的圆过定点，并求该点的坐标.

解：设P（x0，y0），则x20+y20=4，直线AP的方程为yy0=x+2x0+2，

它与直线x=4 的方程联立可得点M的坐标为（4，6y0x0+2），

同样可求得点N的坐标为（4，2y0x0-2），

以MN为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-6y0x0+2）（y-2y0x0-2）=0.

化简得（x-4）2+y2+8x0y0y-12=0.它恒过点（4±23，0）

类似的方法我们可以解决下面两个变式.

变式1 已知圆O：x2+y2=r2（r>0）与x轴交于A、B两点，P是圆O上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别与直线x=t（t>r）交于M、N两点，问以MN为直径的圆是否过定点？

解：设P（x0，y0），则x20+y20=r2，直线AP的方程为yy0=x+rx0+r，

它与直线x=t 的方程联立可得点M的坐标为（t，t+rx0+ry0），

同样可求得点N的坐标为（t，t-rx0-ry0），

以MN为直径的圆的方程为（x-t）2+（y-t+rx0+ry0）（y-t-rx0-ry0）=0.

化简得（x-t）2+y2+2r2-2tx0y0y+r2-t2=0.它恒过点（t±t2-r2，0）.

变式2 椭圆x24+y2=1与x轴交于A、B两点，P是椭圆上任一点，直线PA、PB分别与直线x=103交于M、N两点，问以MN为直径的圆是否过定点？

解：设P（x0，y0），则x20+4y20=4，直线AP的方程为yy0=x+2x0+2，

它与直线x=103的方程联立可得点M的坐标为（103，163y0x0+2），

同样可求得点N的坐标为（103，43y0x0-2），

以MN为直径的圆的方程为（x-103）2+（y-163y0x0+2）（y-43y0x0-2）=0，

化简得（x-103）2+y2+5x0-63y0y-169=0.它恒过点（2，0）和（143，0）.

与圆及圆锥曲线有关的定点问题关键是先求出所求曲线的方程，它通常含有参数，再根据含有参数的方程确定其所经过的定点.

二、定值问题

定值问题比较复杂，它有时可以转化为圆锥曲线问题利用圆锥曲线的定义来解决，有时也可以通过运算转化为函数、方程等问题来解决.

1.与直线有关的定值问题

例3 如图所示，AO=OC=a（a>0），OE=6.若将线段OE进行n等分，从左到右的分点分别记为A1，A2，A3，…，Ai，…；线段FE也进行n等分，从上往下的分点分别记为B1，B2，B3，…，Bi，…，连接CA1，CA2，CA3，…，CAi，…，其中CAi与ABi的交点是Pi.问是否存在两个定点，使点Pi （对一切正整数i） 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

解：（1）略解：由直线CAi的方程y=-a+na6ix，直线ABi的方程y=a-ia6nx，联立方程组解得点P的坐标为（12inn2+i2，an2-i2n2+i2）.

（2）由x=12inn2+i2，y=an2-i2n2+i2，得点Pi的轨迹方程x236+y2a2=1.

当a=6时，不存在两个定点，使点到这两点的距离的和为定值；

当a≠6时，存在两个定点即该椭圆的焦点，使点Pi到这两点的距离的和为定值.

当a

当a>6时，焦点在y轴上，定点（即焦点）坐标为（0，a2-36），（0，-a2-36），定值为2a.

点评：本题先求轨迹再转化为椭圆的定义问题来解决.

2.与圆锥曲线有关的定值问题

例4 已知点A，B椭圆x24+y2=1上关于x轴对称的两点，P是椭圆上任一点，直线PA、PB分别与x 轴交于（m，0），（n，0）两点，求证mn为定值.

证明：设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（x1，-y1），x214+y21=1，x224+y22=1，

直线AP与x轴交点（x1y2-x2y1y2-y1，0），

m=x1y2-x2y1y2-y1，

直线BP与x轴交点（x1y1+x2y1y2+y1，0），

n=x1y2+x2y1y2+y1，

mn=x1y2-x2y1y2-y1·x1y2+x2y1y2+y1=x21y22-x22y21y22-y21=4（1-y21）y22-4（1-y22）y21y22-y21=4.

故mn为定值4.

点评：解本题的关键是运算要有耐心，在众多变量的情况下要小心应对.

例5 已知椭圆E：x28+y24=1.设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为455.

（1）求圆O的方程；

（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有MNNQ为定值.

解：（1）A（4，0），B（0，2），

直线AB的方程为y=-12x+2，即x+2y-4=0，

则O到AB的距离d=45，

圆O的半径r=（45）2+（12×455）2=2，

圆O的方程为x2+y2=4.

（2）椭圆E的右准线的方程为x=4.

设l上取定的点M为（4，t），圆O上的任意一点N为（x0，y0），定点Q为Q（x，y），

MN与NQ的比是常数且Q不同于M，

NQ2=λMN2，λ是正的常数（λ≠1）.

即（x0-x）2+（y0-y）2=λ（x0-4）2+λ（y0-t）2，

x20+y20-2xx0-2yy0+x2+y2=λ（x20+y20+16+t2-8x0-2ty0），

将x20+y20=4代入

有-2xx0-2yy0+x2+y2+4=-8λx0-2λty0+（20+t2）λ，

有无数组（x0，y0）满足上述等式，

x=4λ， ①

y=tλ， ②

x2+y2+4=（20+t2）λ， ③

将①、②代入③得16λ2+t2λ2+4=（20+t2）λ，

即（16+t2）λ2-（20+t2）λ+4=0，（λ-1）[（16+t2）λ-4]=0，

λ≠1，λ=416+t2.

即存在一个定点Q（不同于点M），使得对于圆O上的任意一点N，均有MNNQ为定值.

点评：本题中参量较多，t为常数，方程-2xx0-2yy0+x2+y2+4=-8λx0-2λty0+（20+t2）λ对于x0，y0恒成立，从而可以得到三个方程来求λ的值，只要λ的值与x0，y0无关，即证明了比值为定值.

解几中解定点定值问题的关键是等价转化，转化为我们所熟悉的直线系、圆系及函数、方程等问题来解.由于其通常运算量大，同学们在这点要有信心又要有耐心和细心.

（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）