平面图形的周长和面积范文

平面图形的周长和面积篇1

关键词:：平面 封闭图形 圆 面积

平面等周问题：在周长相等的平面封闭图形中，圆的面积最大。等周问题在自然界和我们的生活中随处可见，我们有必要把这个问题的来龙去脉搞清楚。

一、 教材中几个与面积有关的问题

在人教版数学教材的不同的章节中给出了下列一些问题。

问题1：已知正方形A、矩形B、圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长LA、LB、LC的大小。解完本题后，你能得到什么启示?

问题2：用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案，正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大（可以利用计算器计算）?

问题3：分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积最大?为什么?

对于问题1，我们通过计算可以得出这样的结论：在周长相等的情况下，圆的面积>正方形的面积>矩形的面积。对于问题2，通过计算不难得出：在周长相同的情况下，圆的面积>正六边形的面积>正方形的面积>正三角形的面积。对于问题3，我们建立二次函数模型，利用函数的性质不难得出：周长为L的圆的面积>周长为L的矩形的面积。无疑，在解决这些问题的过程，学生基本上认识到：在周长一定所有的平面封闭图形中，圆的面积最大。

上述问题被称为平面等周问题。

二、生活中的平面等周问题

平面等周问题的另外一种说法是：在面积相同的平面封闭图形中，圆的周长最小。

等周问题是说在平面图形中，周长一定的形状，以圆的面积为最大，因此圆可以说是“最经济”的图形。这也就是为什么自然界中的许多东西都呈圆形的缘故。如向日葵的种子排满了盘的的表面，这些种子“撑”出了一个圆形；植物的茎干的横截面、水管的横截面、树木的年轮、硬币、徽章等都是利用了“最经济”这一特性。

三、前人对平面等周问题的探索

同三阶幻方类似，等周问题有着悠久的历史，它的历史甚至可以追溯到希腊以前的时代，并且它们的起源同样是具有神秘色彩的传说。

根据Coolidge的考证，古希腊数学家Zenodorus在公元前二世纪就研究过这类问题，他的研究成果在5个世纪后由Pappus祥述并加以推广。据说阿基米德解决过该类问题，但是在他的研究工作中没有找到任何证据。解析几何的创始人之一法国著名数学家笛卡尔曾经对几个面积相等的特殊图形进行考察，并运用归纳法得出一个一般的结论：在所有面积相等的平面图形中，圆具有最短的周长。

德国著名数学家Jacob Steiner(1796—1863)被誉为“自Euclid以来最伟大的几何学家”。 Steiner在1839年一下子就为等周定理找了几个几何直观的证明。但是Steiner的所有证明都把存在性看作自明的。 Gesiser在其对Steiner的非常值得一读的追悼演讲中说过，他或许可以说是一个思考多端的奇人，以致Dirichlet尝试说服Steiner去认识所作结论的缺陷而以失败告终。

四、从德国著名数学家Jacob Steiner的三个定理透视平面等周问题

接下来，我们介绍Jacob Steiner给出的较为直观的证明。

定理1：若C是周长L一定的所有闭曲线中围成最大面积的那条闭曲线，则C必定是凸曲线。

所谓凸曲线是指在曲线上任取两点A、B，若连接A、B的线段AB全部落在曲线上，或落在曲线围成的区域内部，则称这条曲线是凸的。如图1(1)中的曲线是凸曲线，图1(2)中的曲线不是凸曲线。

图1

(1) (2) (3) (4)

证明：若C不是凸曲线，则在C上一定可以找到一对点O和P，使线段OP在C外(如图2(3)所示)。这时我们以OP为轴，把曲线OQP反射到另一侧成为曲线OQ′P。弧OQ′P与弧ORP一起形成长度为L的一条曲线，而它包含的面积比原曲线C包含的面积大。这与C是周长L一定的所有闭曲线中围成最大面积的那条闭曲线的假设相矛盾，所以C必定是凸曲线。

定理2： 若C是周长L一定的所有闭曲线中围成最大面积的那条闭曲线，则选取两点A、B把曲线C的周长平分时，其面积也必被同时等分。

证明：现在选取两点A、B把曲线C的分割成长度相等的两段弧。这时直线AB也必将C所围成的面积分割成两个相等的部分;否则，我们可以把较大的面积的那部分对AB作反射，就得到另一条长度为L而比C围有更大面积的曲线。(如图1(4))

定理3： 两端点A、B在一直线上的长度为 的弧与这条直线围成的面积最大时，这条曲线必定是半圆。

证明：设弧AOB是该问题的解，其中O为该弧上任意一点，我们只要证明∠AOB=90°即可。假定∠AOB不是直角。那么我们用图2(2)中的图形代替图2(1)中的图形。在这个新图形中，阴影部分的面积和弧AOB的长度没有发生变化，而由于∠AOB=90°，三角形的面积增大了，这样图2(2)中的图形比原图形有更大的面积。这与假设相矛盾。这个矛盾证明了对任意点O，∠AOB必是直角。

图2

(1) (2)

由定理2和定理3可知，满足等周问题的解是圆。

当然，所涉及的数学知识对初生来说是很难的，但老师只有深度剖析，才能对学生研究性学习进行高屋建瓴的有效引导。我们必须培养学生具备超强的应变的能力，也就是要有“准确观察事物”而且“洞察本质为何”的能力，才能在研究性学习中走出坚实的第一步。

参考文献

[1] 张顺燕. 数学的美与理[M]

平面图形的周长和面积篇2

1.能熟练地进行长方形与正方形的面积和周长的计算，比较灵活地运用长方形与正方形的面积和周长知识进行相关变式练习的解答。

2.能根据具体的问题情境，选择相应的数学方法进行探究、实践，发现并解决问题。

3.通过举例、观察、发现等数学活动，把抽象问题具体化，进而解决问题，促进思维的发展。

4.通过数学活动，让学生体验数学方法的妙处，树立学习数学的信心，激发学习数学的热情。

教学过程：

一、基础部分

1.出示课题：长方形、正方形的面积与周长的复习。

【设计意图：课始开门见山，让学生明白整节课学习的目标与方向，自然激活学生的已有旧知，为课堂教学顺利进行铺平道路。】

2.基础梳理。

（1）出示问题，自主解决。

①如右图，求长方形的面积与周长。

生：图中没有告诉长方形长和宽的长度，所以我们无法进行计算。

师：哦，意思是计算长方形面积与周长的必要条件是应该知道长和宽的长度。

【设计意图：复习课中知识梳理的途径有很多，关键在于唤起学生内心深处对知识与学法的回忆及整理。设计此环节，目的是让学生能顿悟求长方形面积的必要条件。】

②如右图，求出长方形的面积与周长。

师板书：长方形面积=长×宽=6×4=24（平方厘米）

长方形周长=（长+宽）×2=（6+4）×2=20（厘米）

（2）关联问题，自主探索。

①如果在这个长方形中剪去一个最大的正方形，正方形的面积与周长分别是多少？

②剩余部分的面积与周长分别是多少？

（学生先自主解答问题，然后汇报交流）

师：如果这个长方形剪去一个最大的正方形，正方形的边长是多少？

生：正方形的边长是4厘米。

师板书：正方形面积=边长×边长=4×4=16（平方厘米）

正方形周长=边长×4=4×4=16（厘米）

剩余图形面积=长×宽=4×2=8（平方厘米）

剩余图形周长=（长+宽）×2=（4+2）×2=12（厘米）

【设计意图：长方形与正方形的面积和周长计算的基本方法是这节课学习的重点，教学中采取边练习边梳理的方式，既可以唤起学生的记忆，又起着巩固所学知识的作用。】

（3）对比观察，引发思考。

师：从上述面积与周长的结果中我们可以知道，在一个长方形中剪去一个最大的正方形后，面积减少了，剩余图形的周长也减少。

【设计意图：复习课中如何让学生主动地参与到教学中来，在探索中不断让思维走向深刻，是教学设计中要思考的问题。因此，本环节没有沿袭传统的以练习训练来整理知识的复习形式，而是以问题为载体，以探索的形式来验证数学思考，以达到问题解决的目的。】

二、探索部分

第一层次：

1.问题引领，以探促练。

出示问题：如果一个长方形剪去一部分（长方形或正方形），剩余部分的周长一定比原长方形的周长小吗？请画图说明。（学生探索后展示汇报）

师：当一个长方形剪去一部分（长方形或正方形），剩余部分的周长与原长方形的周长相等，怎么剪呢？

生：沿长方形的其中一个角剪。

师：我们把它称为“破一角”的方法吧。（板书：周长减少破一角）

师：当一个长方形剪去一部分（长方形或正方形），剩余部分的周长比原长方形的周长长，怎么剪呢？

生：沿长方形的其中一条边剪。

师：那我们把它称为什么方法呢？

生：可以称为“破一边”吗？

师：完全可以！（板书：周长增加破一边）

【设计意图：本环节充分给予学生动手实践的机会，以此来说明自己的结论，这其实就是学生“悟”问题的过程，使学生的数学思考越来越深刻。】

2.策略梳理，练习跟进。

（1）媒体演示，系统感知。

①长方形的面积减少，剩余部分的周长不变。

……

②长方形的面积减少，剩余部分的周长变大。

……

③长方形的面积减少，剩余部分的周长变小。

……

【设计意图：数学知识的学是从零散到系统的过程，这个过程需要借助辨析、观察、概括与整理等活动。本环节让学生先交流汇报，教师再通过多媒体动态演示，进一步引导学生梳理解题策略，让学习质量的提升成为可能。】

（2）练习反馈，整体跟进。

师：说一说，如果要计算出下列图形的周长，至少需要量出几条边的长度？

第二层次：

1.问题驱动，以例悟道。

出示：

师：如果长方形的面积相等，那么它们的周长也一定相等吗？

生：不一定。

师：请举例说明。

【设计意图：长方形的面积相等，周长是否相等或存在什么规律性联系呢？破解这样的结论性问题，需要教师帮助学生“退”到简单处去发现规律，所以列举法不失为一条捷径。】

2.列举说明，验证结论。

（1）学生自主列举。

……

（2）观察发现。

师：从以上例子中，你发现了什么？

生3：长方形的面积相同，周长是不一样的。

生4：长方形的长和宽越来越接近，周长就越来越小。

师：如果长方形与正方形的面积一定，那么，谁的周长较小？

【设计意图：归纳推理是小学阶段主要的数学思想，符合儿童的认知规律。这个环节先让学生列举，然后进行观察、发现规律，让学生不断经历变与不变的归纳过程，促进数学思维的发展。】

第三层次：

1.动手实践，探寻规律。

师：同学们求出长为6厘米、宽为4厘米的长方形周长是20厘米，那么，你能在格子图中画出周长为20厘米的长方形吗？同时计算出它们的面积，从中又有什么发现呢？

……

2.观察发现，总结规律。

（1）引导观察，发现内在联系。

师：从中你有什么发现？

生7：长方形的周长一定，长和宽越接近，长方形的面积就越大。

（2）出示结论，揭示规律。

师：如果长方形与正方形的周长一定，那么，谁的面积较大？

生8：如果长方形与正方形的周长一定，正方形的面积较大。

【设计意图：用图形和数据来说明数学问题比较直观形象，学生容易接受。尤其是这样规律性问题的探索与巩固，用以探带练的方式进行复习，比较容易激发学生的求知欲望，对问题的认识会更深刻。】

3.概括总结，学法梳理。

师：同学们，当我们在学习中遇到一些结论性或规律性的问题时有些淡忘了，该怎么办呢？

生：可以举例来说明。

师：很好！我们可以通过“列举——观察——发现——结论”这样的途径来解决一些问题。

【设计意图：学法形成需要引领经历与梳理的过程。本课教学让学生经历学法的运用过程，最后进行一次集中整理，为学法形成起画龙点睛的作用。】

4.实践练习，学法迁移。

出示问题：把一个长方形剪成三个完全一样的正方形后，周长总和比原来增加了20厘米，原来长方形的面积是多少平方厘米？

平面图形的周长和面积篇3

圆

一、圆的概念和性质

1、

圆是由一条曲线围成的平面图形。

（以前所学的图形如长方形、梯形等都是由几条线段围成的平面图形）

2、

画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；

连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示；

通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。

在同一个圆里，有无数条半径和直径。

在同一个圆里，所有半径的长度都相等，所有直径的长度都相等。

3、

用圆规画圆的过程：先两脚叉开，再固定针尖，最后旋转成圆。

画圆时要注意：针尖必须固定在一点，不可移动；两脚间的距离必须保持不变；要旋转一周。

4、在同一个圆里，半径是直径的一半，直径是半径的2倍。（d=2r,

r

=d÷2）

5、圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴就是直径所在的直线。

6、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。要比较两圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。

7、正方形里最大的圆。两者联系：边长＝直径；圆的面积=78.5%正方形的面积

画法：（1）画出正方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以边长为直径画圆。

8、长方形里最大的圆。两者联系：宽＝直径

画法：（1）画出长方形的两条对角线；（2）以对角线交点为圆心，以宽为直径画圆。

9、同一个圆内的所有线段中，圆的直径是最长的。

二、圆的周长

10、圆围成的长度就是圆的周长。

车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长。

每分前进米数（速度）＝车轮的周长×转数

11、任何一个圆的周长除以它直径的商都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。

用字母π表示。π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653……

我们在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。π>3.14

12、如果用C表示圆的周长，那么C＝πd或C

=

2πr

13、求圆的半径或直径的方法：d

=

C÷π

r

=

C÷

π÷2=

C÷2π

14、半圆的周长等于圆周长的一半加一条直径。

C半圆=

πr＋2r=5.14r

C半圆=

πd÷2＋d=2.57d

15、常用的3.14的倍数：

3.14×2＝6.28

3.14×3＝9.42

3.14×4＝12.56

3.14×5＝15.7

3.14×6＝18.84

3.14×7＝21.98

3.14×8＝25.12

3.14×9＝28.26

3.14×12＝37.68

3.14×14＝43.96

3.14×16＝50.24

3.14×18＝56.52

3.14×24＝75.36

3.14×25＝78.5

3.14×36＝113.04

3.14×49＝153.86

3.14×64＝200.96

3.14×81=254.34

三、圆的面积

16、圆所占(平方

)的大小就是圆的面积。

圆的面积公式：S=πr2。圆的面积是半径平方的π倍。

17、圆的面积推导：

圆可以切拼成近似的长方形，长方形的面积与圆的面积相等（即S长方形＝S圆）；

长方形的宽是圆的半径（即b＝r）；

长方形的长是圆周长的一半（即a＝C÷2=πr）。

即：S长方形＝

a

×

b

S圆＝

πr

×

r

＝

πr2

所以，S圆

＝

π

r2

18、半圆的面积是圆面积的一半。S半圆＝πr2÷2

四、补充

19、大小两个圆比较，半径的倍数＝直径的倍数＝周长的倍数，面积的倍数＝半径倍数的平方

（即r扩大n倍，直径扩大n倍，周长扩大n倍，面积扩大n2倍）

20、

周长相等的平面图形中，圆的面积最大；

面积相等的平面图形中，圆的周长最短。

21、求阴影部分的面积的常用方法有割补法、和差和等分法等。

22、几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长（如图）

几个直径和为n的圆的面积

n

23、常用的平方数：112＝121

122＝144

132＝169

142＝196

152＝225

162＝256

172＝289

182＝324

192＝361

平面图形的周长和面积篇4

1、将图形分为几个规则图形。

2、分别求出各个规则图形周长。

3、将各个周长加起来，结果就是不规则图形周长。

不规则图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。环绕有限面积的区域边缘的长度积分，叫做周长，也就是图形一周的长度。

不规则的图形计算面积

1、分图法：用分割法或添补法，把不规则图形分成会计算的简单图形。

2、填补法：把不规则图形补成一个规则的图形，再以总面积减去填补上去的图形的面积。

3、找条件：分别计算简单图形的面积。

4、算面积：最后求和或差。

小学常见图形面积

长方形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

三角形的面积=底×高÷2

平行四边形的面积=底×高

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

平面图形的周长和面积篇5

一、关注学生的参与和体验，丰富概念的形成过程

学生对概念的认识有时停留在字面理解上，很难理解其抽象语义。教师在教学中要对所教学的概念进行理性分析，思考所教学的概念是采用分类分析还是聚类分析的方法，所提供的学习材料是否足够丰富，是否能让学生根据自己的经验进行分类或聚类分析，抽象出概念的本质特征……下面就以《认识分数》一课来谈谈我们的一些实践与反思。

以往我们见到的教学流程是“呈现概念――辨析概念――记忆概念――运用概念”，缺失的是在概念形成过程中学生的参与体验和自我建构的真实学习过程。因此，课一开始我们就为学生提供了大量的学习材料：各种水果、花朵、动物或者家用物品等集合图。这些集合图里物体的个数有总数相等的，也有不等的；有平均分的，也有不平均分的；有平均分成2份、平均分成3份的，也有平均分成4份的。这些材料呈现在学生面前时教师提问：“上学期我们认识的是一个物体的部分与整体的关系，那么现在每一个物体与它整体之间有怎样的关系？你能给它们分分类吗？”学生这时需要找一个共同的标准去分类，分类的过程是认识、分析材料，并思考这些材料中整体与部分关系的一个真实的体验过程。

二、提供典型多样的学习材料，实现概念的整体感悟

在概念教学中，有时教师不注意提供大量的感性学习材料，致使呈现的概念比较狭窄单一。我们期望改变只有知识点而缺乏整体感悟的状态，强调学生对概念内涵的整体感悟和丰富认识，并在整体感悟的过程中提升分类和比较、概括和抽象的水平。下面以三年级《面积的意义》一课来谈谈我们的实践思考：

整节课分成两大环节：第一环节，教师由直观实物入手，用看、摸、说、听、想的学习活动，抽象出物体表面的大小就是物体表面的面积。具体分这样几个步骤：第一次感悟，摸扇子、照片、卡片、光盘的表面。第二次感悟，同桌互相摸积木、茶杯、药盒的表面，说说摸的是什么面，感悟表面有几个，有的是平面，有的是曲面。第三次，感悟物体表面有大小，比较数学书的封面与卡片封面的大小，并找一找比数学书封面大的面、比卡片封面小的面。在此基础上，概括面积概念。这样教学，要注意提供大量丰富而典型的感性材料，让学生在充分感知的基础上由“物体有面――每个面有大小――几个面的大小是物体表面的面积”， 逐步抽象出面积的概念。

学生初步认识面积概念之后，我们又为每个小组准备了下面的学习材料：相同的是，一个信封里有四个图形，1号图形与2号图形可以一眼比较出大小，3号图形是边长为6厘米的正方形，4号图形是长为8厘米、宽为4厘米的长方形。不同的是，有的组提供彩色卡纸，有的组提供字母卡片、透明方格纸，还有的组是把这两个图形印在一张纸上。学生在比较3号和4号图形哪个面积大时，出现了多种比较方法：3号和4号图形可以重叠比较大小；用透明方格纸或字母卡片量；量边长，因为6+6=12（厘米），8+4=12（厘米），周长一样长，所以面积是一样大的。对于量边长的方法，教师组织学生辨析，体会面积的大小比较必须用面去量，而不是以前所学的长度单位去量。学生通过对外部的肯定或否定反应所获得的反馈信息进行不断的选择，从而概括出面积概念的本质属性。用字母卡片和用透明的格子纸量等许多方法，都蕴涵着比较面积需要运用统一的标准，面积单位的意义也就孕伏其中。

上述两个环节，通过丰富的学习材料让学生在整体感知的基础上不断地比较辨析、自主建构；学生利用已有的知识经验，在尝试和探究中不断理解面积的内涵和外延。

三、给予学生表述交流的机会，重视概念的归纳和提炼

在概念形成过程中，我们不仅要关注学生对概念感性材料的整体感悟，关注学生的参与体验，还要关注学生在构建概念过程中的语言表述。

研究《认识周长》这一课时，教师就有意识地提供给学生表述概念的机会。课一开始播放上海赛车比赛的录像，赛车绕跑道的周长跑56圈。教师引出周长，并让学生指一指身边物体的周长，提供给学生红包、盖子、树叶、学习用品等，学生在小组中交流。这时学生对周长的认识是比较直观的：红包外面的一周是红包的周长；沿着树叶的边比画，这是树叶的周长；手指绕树叶一周，从这儿一直到这儿才是树叶的周长。在此基础上，教师让学生量一量这些物体的周长。学生活动，交流用尺量、滚动一周量、用线绕等各种量法，活动后教师再次请学生根据上面的活动谈一谈什么是周长。这时学生对周长的内涵有了进一步的认识，表述语言逐步深入：周长可以用尺量的；树叶、盖子、树枝的周长都可以用一根线绕出来；周长就是物体一周的长度……教师又组织第三次活动：提供一些平面图形，有封闭的也有不封闭的，让学生画出平面图形的周长，学生操作并交流。在以上活动的基础上，教师让学生用准确简练的语言来说说什么是周长。学生有了丰富的感性认识，多数都能概括提炼：图形的一周是这个图形的周长；周长是指封闭图形一周的长度；周长是物体一周或封闭图形一周的长度……

平面图形的周长和面积篇6

【关键词】启迪 思维 本质

【教材分析】

思维是人脑对客观事物的一般特性和规律的一种间接的、概括的反映，它是认知的核心成分。数学是思维的体操，让学生在掌握数学知识的同时学会思考，促进其思维发展是数学教学的灵魂，也是每一位数学教师所应追寻的价值取向。

人教版数学五年级上册第六单元练习十九，是一节W习了“平行四边形的面积计算公式”后的专项练习课。教材中除了紧接新授课安排的一些简单计算和解决问题（1～5题）之外，有一半以上的篇幅（6～11题）涉及对平行四边形面积的进一步理解以及在理解的基础上解决问题，其中第6、7、8三道题（如图2～图4）主要涉及平行四边形面积的决定要素――底和高；而第5题（如图1），更像把平行四边形放在了一个坐标系中进行研究。细细分析这些题目，它们的最大特点是通过对面积的计算来理解平行四边形的面积与其高和底的相关性，发展学生分析问题、思考问题的能力。

【教学实践】

怎样有效地利用这些题目，让学生通过解决问题，实现在认知和思维能力上得到进一步的发展？笔者抓住问题本质，以学生存在疑问的点为切入口，将题目进行有机整合，以便关注平行四边形面积的本质，启迪学生的数学思维。

一、在比较辨析中，进一步理解“高”与平行四边形面积的关系

平行四边形面积计算公式的推导主要是通过割补法来得出，而学生在新授课时容易把平行四边形的面积计算方法定位在“底×邻边”上。因此，“高”是决定平行四边形面积的其中一个因素，必须进一步加以理解。

课始，进行一些简单的基本练习之后，笔者抓住：“根据平行四边形易变形的特性，把它进行拉动，思考平行四边形的面积是否发生变化？”课件出示平行四边形的拉动过程，并将其中两个平行四边形作为研究对象，辅之以网格图（如图5），在引导学生作出判断并用自己的方法加以证明。很快，有的学生通过“整体剪拼”的方法，将平行四边形转化成长方形，并得出长方形的长相等、宽不同，因此面积不同；有的学生则通过计算，得出第一个平行四边形的面积为18cm2，第二个平行四边形的面积为12cm2，两者面积不同；有的学生则从平行四边形的面积计算公式出发，发现两个平行四边形底相同，高不同，第一个平行四边形的面积更大。

在此基础上，笔者出示图6两个平行四边形，让学生比较它们之间的面积大小。有了刚才的经验，学生很快得出结论，两个平行四边形的面积一样大，因为它们底和高一样。随后，把图6中右边的平行四边形移动到与左边图形的底重合（如图7），接着再出现一个平行四边形（如图8），进一步明确等底等高的平行四边形面积相等。

和高作为平行四边形的两个重要元素，决定了平行四边形的面积大小。当然，作为特殊的平行四边形，长方形的面积由它的长和宽决定。这一点学生也在原有的认知基础上，有了更深的体会。之所以将这两个问题进行整合，是因为它们之中一组是等底等高的平行四边形，另一组是等底但不等高的平行四边形。在处理教材时，我们需看到它们的不同之处，更应看到它们背后的本质问题，即在底相等的情况下，高决定了平行四边形的面积大小。

二、在动静结合中，进一步理解“同底”条件下平行四边形的面积关系

在完成第一个环节后，笔者继续利用刚才的素材进行提问：第一组的平行四边形拉动时，什么时候面积最大？为什么？学生通过观察和思考，以及对平行四边形面积计算公式的理解，很快发现在底不变的情况下，高最大时面积也最大。当拉成长方形时，高也就是长方形的宽是最大的，此时，平行四边形就是长方形，面积最大。笔者继续追问：有没有面积最小的时候？学生自然顺着前面的思路回答：有，当高为0的时候，平行四边形面积最小。笔者没有急于下结论，而是问：再想想，如果高为0，这个平行四边形会怎样？此时，出现了不同的声音：

生1：当高是0时，平行四边形就变成了一条线段，它的面积最小。

生2：高不能是0，如果高是0，那平行四边形就没有了。

看到学生已经隐约感受到了高的取值范围，笔者表示赞同第二种意见：平行四边形的高无限接近0，因此它的面积也无限接近0，但不会等于0，否则就不能称之为平行四边形了。

学生在新授课中通过剪拼等方法得出平行四边形的面积计算公式后，容易将之它视为孤立的、静态的规则。因此设计这样一个环节，使静态化计算面积的方法动起来，并进一步体会高的变化引起的面积变化。另一方面，也让学生适当地体验变量的取值范围，初步渗透极限思想。

三、在图形变化中，进一步理解“底和高”两个维度与面积之间的关系

紧接着，笔者趁热打铁，先后出示了以下内容（如图9～图10），使学生加深对平行四边形中底和高的作用的认识。

学生通过两组图形的观察、思考和交流，进一步加深了对平行四边形的面积大小由底和高决定的理解。

在观察两组图形时，学生发表了如下意见：

生1：（图9）竖的那一组平行四边形底不变，高在变，面积也在变，它们的面积变大了；横的那一组图形，底在变长，高不变，面积也变大了。

生2：（图10）平行四边形的底和高都在变化，它的面积变化更大了。

教师追问：看来，是谁决定了平行四边形的面积大小？

生：平行四边形的底和高决定了平行四边形的面积大小。

师：那长方形呢？

生：长方形的长和宽。

师：长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么相同之处？

生：它们都是朝着横和竖两个方向的。

在此基础上，教师出示面积单位cm2、dm2、m2、km2，请学生说说对这些单位的理解。一开始学生对这些面积单位没有特别的感受，于是，笔者提醒学生应与刚才的发现相结合，在教师的提示下，学生逐渐有所感悟。

生1：这些单位都有平方，单位右上角都有一个“2”。

生2：这些单位表示cm×cm，dm×dm，m×m，km×km。

生3：这些单位表示（图形的）两个方向（维度）相乘。

随后，笔者继续设疑（出示图11），要求计算出三个平行四边形A、B、C的面积，并分析比较底和高的变化与面积变化的关系。

生1：A的面积是6×5=30，B的面积是12×10=120，C的面积是24×20=480。

生2：我发现图形A与图形B之间，底扩大2倍，高扩大2倍，而面积扩大了4倍。

生3：图形B与图形C之间，底扩大2倍，高扩大2倍，面积就扩大了4倍。

生4：图形A与图形C之间，底扩大4倍，高扩大4倍，面积是30和480，面积扩大了16倍。

生5：这些图形的底与高和面积之间的倍数关系是底扩大的倍数乘高扩大的倍数，就是面积U大的倍数。

这一环节是对前面两个环节的整合与发展，通过图形之间的整体变化让学生进一步理解平行四边形的底和高与面积的关系，帮助学生通过迁移、拓展，从整体的视野来加深对两种平面图形的面积及其计算方法的认识，同时在学习与思考的过程中，理解底和高的变化与面积变化之间的关系，为后续学习三角形、梯形等平面图形的面积打下认知基础。

从二维的角度去分析面积及面积的计量单位，有助于帮助学生将图形、面积计算公式、面积单位及面积单位间的进率有机统一起来，形成整体，便于理解。学生对面积的二维性质的理解，也有助于为后续更好地理解立体图形的相关内容做准备。

【教学反思】

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“通过数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。体会数学知识之间等的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”这为我们的数学教学指明了方向：在重视数学基础知识和基本技能的同时，更应关注数学的基本思想和基本活动经验，为学生的后续发展奠定基础。当教材中出现能够发展学生数学思维、拓宽学生视野的素材时，作为数学教师应有敏锐的嗅觉，及时捕捉住这些有价值的学习素材。

上述三个环节的学习与研究，结构上环环相扣，内容上层层深入，紧紧抓住平行四边形易变形的特性，从底不变、高的变化来分析平行四边形的面积变化；再到等底等高面积相等，然后同底条件下研究什么情况下面积最大，什么情况下面积会越来越小；最后研究底和高均发生变化与面积变化之间的联系。在掌握数学基础知识、发展数学基本技能的同时，学生的思维得到了充分发展。学生分析问题的角度慢慢从一个维度逐步向两个维度推进。

小学阶段的数学学习，不仅需要教授数学知识，使学生掌握数学基础知识及其运用能力，更需要通过数学知识的传授过程，着重培养学生的数学思维能力，为学生的后续发展提供保障。例如，在“长方形、正方形的周长”单元中，教学时不仅要让学生明白周长计算的一般方法，而且还要让学生明白有时只需要知道长与宽的和，就能计算出它们的周长。这样，学生的思维就得到了一定的提升与发展。人教版教材中还安排了一节图形的拼组：16个正方形拼成的长方形和正方形，哪个周长大，哪个周长小？如果老师把这节拼组课作为基础，再继续深入的研究（如图12），按图中的拼法，拼成后的图形周长是多少？引导学生通过几个正方形周长之和减去重复边的长度和，那么拼成后的周长和是2a（n+1）。这样学生不仅掌握了这类图形拼组后计算周长的一般规律，而且为六年级数形结合的规律探究打下了基础（如图13）。一张方桌每边坐一个人，如果按下图拼在一起，n张方桌可以坐多少人？这题的思路与图12的思路完全一致，a=1，拼成后可以坐的人数为2（n+1）人。

平面图形的周长和面积篇7

【关键词】几何新授课 思维台阶 课堂结构

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）05-0095-04

一、几何新授课教学的现状及分析

新课程实施以来，传统的几何知识教学从内容上得到了拓展，从目标上实现了转移，从教学上得到了加强，成为教学“四大领域”之一，几何新授课教学在小学数学新课程中占有十分重要的地位和作用。

请看两个教学课例：

课例1：三年级上册数学《周长的认识》这课时的教学。

有位老师是这样来进行课堂操作的：

呈现下列素材（图1），引导学生认识平面图形的周长。

师：你能指出上述图形的周长吗？

师：下面水池的周长在哪里？（呈现游泳池如图2）

在老师的引导下，学生指平面图形和泳池的周长。

呈现下列素材（图3），引导判断是不是周长。

接着让学生比较周长。素材是图4所示的材料。

课例2：六年级上册数学《圆的面积》这课时的教学。

这是某老师的课堂教学流程和主要活动：

呈现材料（图5），引导复习长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式。

你还记得长方形、平行四边形、梯形的面积公式是怎样的吗？

部分学生对公式进行了复述，老师进行了板书，并引导学生进行了复习。

第二个环节，引导学生尝试用教材配套学具把圆转化为学过的图形，推导面积公式。

学生在老师的指导或看书的基础上把圆平均分，再剪拼成长方形或平行四边形（图6）。

经过师生共同讨论，知道平行四边形的底和长方形的长近似于圆周长的一半，平行四边形的高和长方形的宽都等于圆的半径。就是“圆的面积=圆周长的一半×半径”，所以“圆的面积=半径的平方×圆周率”，即“S=πr2”。

第三个环节，提供几个典型问题模式，引导学生初步运用公式计算（图7）。

学生计算后引导小结：学到这儿你知道了什么？部分学生回答后追问：还有什么想说？

第四个环节，利用问题，引导学生进行思维的综合和知识的深化（图8）。

上述两节几何课，单从内容上来说应该是典型课例，因为不管新旧哪个版本的教材都被保留了下来。我们可以从教学中看到，同样的教学内容，跟以往比，课堂上所呈现出来的差别还是明显的。比如，素材内容更丰富了。《周长的认识》一课，从学生熟悉的规则图形入手，过渡到不规则图形，再终结为规则图形。《圆的面积》则从有联系的旧知出发，利用学具操作从两个不同途径推导出面积公式，在解决现实问题中运用和理解公式，增加了更易理解的现实内容。再比如，教学更重视学习活动的设计。课堂有观察，有思考，有操作，有交流，有计算，有推理等，而老师退到幕后专做服务的意识强了。又比如，教学目标的侧重点已经转移到引导学生感悟上。两节课都很重视设计一些图形素材，结合一些活动，用更多的时间让学生去体验，去感悟，没有把周长的计算、面积的计算作为重头戏。这些都是老师在磕磕碰碰的前进中所取得的进步。

然而，我们细心分析仍旧可以发现：

《周长的认识》这个课例，从环节上看基本可以划分为三个过程：指出周长判断周长计算周长。很显然概念的形成过程太简单化了，而作为“周长的认识”教学，周长的计算又要求过高了。最大的原因是“书上就是这么编排的”，而且提供的素材大致也就是这些，“况且周长这么简单的知识不用教都会”！事实真的是这么简单、这么理想吗？典型的以成人经验代替学生思维。事实上一节课学习后，多数学生连什么是“数学上的周长”都没弄明白。因为老师没有从整体上把握知识，没有关注学生的学习起点，教学中对思路和方法体现不多，就造成缺乏从现实事物到初步抽象，再到本质概括的这么一个几何概念的类化、提炼、凝聚的感悟过程。

《圆的面积》这个课例，尽管学生有一定的操作活动为支撑，但这个活动还不充分、不全面、不深入，没有从知识的形成和发生发展的过程以及学生思维过程展开探索，最多只是复制教材设置的内容，知道圆面积公式是怎么样的，初步掌握运用公式进行计算的技能。换句话说，学生的学习还只是停留在对模型的记忆和模仿层面。由于课堂没有更好地展开，没有让学生尽可能地暴露思维过程，学生对新旧知识的连贯和扩展，对怎样研究数学问题，对知识的深层理解还不够。

这两个课例所表现出来的性状，一定程度上可以看成是当前几何新授课的缩影。

二、我们对几何新授课的设想及改造

那么，几何新授课到底要教会学生什么？是不是传授新的几何图形知识，形成新的图形计算技能，有了关于图形的新感知就算达成了教学目标呢？

当前，小学数学新授课，不但要传授新知识，引导形成新技能，获得数学新认识，而且还要引导学会研究新的数学问题，积累研究经验，感悟数学方法，获得思维发展。新授课是最常见、最根本、最重要的课型,因而新课里引导学生学会探求新知识，把知识运用于实际，培养数学能力、发展数学思维尤其重要。几何新授课同样要满足这些要求。另外还担负着引导学生认识和研究初步几何知识，形成初步图形想象能力和空间思维的重任。

所以小学几何新授课不但要关注知识与技能，更重要的是关注研究经验的积累和基本思想方法的获得。

平面图形的周长和面积篇8

长方形的周长为两倍的长加宽。

周长：环绕有限面积的区域边缘的长度积分，叫做周长，也就是图形一周的长度。多边形的周长的长度也相等于图形所有边的和。

周长与面积：如果以同一面积的三角形而言，以等边三角形的周界最短； 如果以同一面积的四边形而言，以正方形的周界是最短； 如果以同一面积的五边形而言，以正五边形的周界最短； 如果以同一面积的任意多边形而言，以正圆形的周界最短。周长只能用于二维图形即平面、曲面上，三维图形如柱体、锥体、球体等都不能以周界表示其边界大小，而是要用总表面面积。

（来源：文章屋网 ）