一个假命题的反例及其来历

真命题的正确性是从题设出发通过推理的方式证实的,而假命题的证明只需要举一个反例就足够了,但有的假命题的反例比较难找,比如证明“有一组对角及一组对边相等的四边形是平行四边形”是假命题时,其反例就不易找到.下面从两个方面来举出反例.

1 以平行四边形为基础变出反例图形

作法:

(1)作平行四边形ABCD,使AD>BD;

(2)以点D为圆心、DB的长为半径作弧交AB于点E,连结DE;

(3)将BDC绕着点D顺时针旋转至DB与DE重合的位置,得到DEF.

当AD>AB时,图1中的凸四边形AEFD为满足条件的非平行四边形;

当AD

当AD=AB时,如图3所示,上面的两种四边形AEFD变成了AFD(这个图不能作为反例).

下面的图1和图2两种四边形均可证明“有一组对角及一组对边相等的四边形是平行四边形”是假命题.

下面来证明图1和图2 中的四边形AEFD为满足条件的非平行四边形:

因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,∠A=∠C.由作图可知:∠C=∠F,BC=EF,所以∠A=∠F,AD=EF.

故四边形AEFD是满足条件的四边形.

因为AD>BD,所以点E在线段AB上(除A、B外).所以AE

所以图1和图2 中的四边形AEFD为满足条件的非平行四边形.

下面证明图3中的AEFD是一个三角形:

因为AD=AB,所以∠ABD=∠ADB.因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠ADB=∠DBC.所以∠ABD=∠DBC又因为DE=DB,所以∠DEB=∠EBD.所以∠DBC=∠DEB.所以点A、E、F在同一条直线上.

故AEFD是一个三角形.

2 以等腰三角形为基础变出反例图形

作法:

(1)作等腰ABC,使AC=BC;

[JP4](2)在线段AB上任取一点D(中点除外),连结CD;

(3)在线段CD的右侧作∠CDE=∠DCB;

(4)在射线DE上截取DE=CB,连结CE.

则图4中的四边形ADEC就是满足条件的非平行四边形.

证明 因为CD=DC,∠CDE=∠DCB,DE=CB,所以CDE≌DCB,所以CE=DB.又因为点D不是AB的中点,所以AD≠DB.所以CE≠AD.所以四边形ADEC不是平行四边形.因为AC=BC,所以∠A=∠B.又因为∠E=∠B,所以∠A=∠E.因为ED=BC,所以AC=ED.所以四边形ADEC满足有一组对角及一组对边相等.

故四边形ADEC是满足条件的非平行四边形.

在上面的反例中,为什么点D不能为AB的中点呢?如图5所示,当点D为AB的中点时,AD=BD,又因为BD=CE,所以AD=CE,而AC=ED,由平行四边形的判定可知,四边形ADEC是平行四边形.故点D不能为AB的中点.

在找假命题“有一组对角及一组对边相等的四边形是平行四边形”的反例时,为什么会想到在平行四边形或等腰三角形的基础上变化呢?

如图6所示,在四边形ABCD中,如果AD=BC、∠A=∠C,无法证明四边形ABCD是平行四边形.因为ABD和CDB虽然满足AD=BC、∠A=∠C和BD=DB,但没有“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”这个判定定理,所以AB和CD不一定相等,故四边形ABCD不一定是平行四边形.

其实两边及其中一边的对角确定的三角形,有时有两种存在形式.如图7所示,在ABC中,如果AC、BC和∠A确定,当AC>BC时,以C为圆心、CB为半径作弧交AB于点D,连结CD,则ABC和ADC都是满足条件的三角形.正因为有这样的情况,我们才会想到把平行四边形或等腰三角形变成有一组对角及一组对边相等的非平行四边形.由于平行四边形本身就存在一组对角相等和一组对边相等,于是可考虑在保留这两个条件的基础上把另一组相等的对边变成不相等的对边.显然在平行四边形ABCD中,如果需将BDC绕着点D顺时针旋转,使点B落在线段AB上不同于A、B的任一位置就得到了所需要的反例图形,所以产生了以平行四边形为基础构造反例的方法.由于在等腰三角形中,有两底角相等、两腰相等,所以可考虑把相等的两腰和两底角分别变换成一个四边形的对边和对角,因此过点C作一条与AB相交的线段CD,将等腰ABC分成不全等的两个三角形,再在保证公共边CD重合的基础上把这两个三角形重新拼合,使相等的两腰和相等的两个底角分别作为一个四边形的对边和对角,这样便得到了所需要的反例图形,之所以在等腰三角形的基础上构造反例,原因就在于此.

作者简介 韩永华,男,湖北省秭归县人,1962年12月生,中学高级教师,秭归县骨干教师,宜昌市数学学会会员,主要研究方向为“数学课堂教学策略”,30余篇.