让学生经历探索,去感悟模型魅力

本文结合人教版五下“找次品”的教学，谈一谈如何让学生经历“感悟天平模型建立‘分3’模型完善‘分3’模型提炼3■模型”的过程，渗透模型思想。

一、动手操作，体验天平模型

“找次品”是学生通过借助天平的构造原理建立 3■ 的数学模型。整个探究过程不但抽象而且随着物品的增多，随机性也越来越强。对于五年级小学生来说，他们的思维还处在以形象思维为主向抽象思维过渡的阶段，如果没有天平作为支撑，天平称次品的过程所呈现的随机性是很难想象并形成表征的，此时的小组动手操作就显得尤为重要。

例如，给每个小组一架天平、9瓶钙片（其中1瓶是次品）、一只黑色袋子和一只绿色袋子 。课前把1瓶次品和2瓶正品的钙片装入黑色袋子，把其余6瓶正品钙片装入绿色袋子。

活动一：①提问，你能用天平把黑色袋子里的1瓶次品找出来吗？②学生动手操作。③讨论，称几次能把次品找出来？学生有的认为是1次，有的认为是2次。认为是2次的学生是当天平平衡时因缺乏经验不敢断定余下的那1瓶是次品，就继续把余下的那1瓶和天平上的任意1瓶再次验证，把验证的这一次也算1次。经过讨论与交流，再次实践与验证（反复称几次）后，断定只需1次就能从3瓶钙片中找出1瓶次品。④得出结论，从3瓶钙片中找出1瓶次品，只需1次就能保证找出。

活动二：①操作，在黑色袋子里再添加6瓶正品钙片，束紧袋口，搅乱。②学生动手操作。③讨论，称几次能把次品找出来？④结论不一，产生矛盾。此过程，赋予学生充足的时间与空间，学生的主动性与积极性在一次又一次的探索发现中被充分调动起来，让学生在“找中学”，在找中积累活动经验，在找中感悟知识背后所隐藏的天平模型――分3模型，即天平两端各为1份，余下的为1份。

二、符号表征，建立“分3模型”

对于用天平“找次品”，虽然给了学生充分的时间与空间动手操作，但操作过程所呈现的结果多而繁杂。引导学生用简洁、清晰的符号表征称的过程，既可以记录下活动的瞬间与每次称的过程，又可以进行系统分析。

例如：从3瓶钙片中找出1瓶次品，可引导学生用以下符号表征（图1）

其中，第一个“3”表示总瓶数，第二个“3”表示分成3份，“（？摇？摇？摇）”里的3个“1”表示每份为1瓶，“＼”表示天平不平衡，“”既表示天平上扬的一端，又表示较轻的次品所在的位置，“_”表示天平平衡。这样的符号系统既可以表示用天平称的过程，又可以一目了然地看出一共称了几次。

从9瓶钙片中找出1瓶次品随机性强且过程复杂，学生在称的过程中可能出现以下几种情况。

情景一：

由天平连续平衡到第一次就不平衡，最多4次，最少1次。

情景二： 情景三：

最多3次，最少2次。 最多3次，最少1次。

情景四：

无论天平平衡与否都是2次。

先让学生经历搜集、整合相关信息的过程，探讨解决问题的方案，再通过观察比较、分析综合，抽象概括出：从9瓶钙片中找出1瓶次品至少称2次保证能找出；最佳方案是：把9瓶钙片平均分成3份。原因一：9刚好是3的倍数；原因二：平均分成3份刚好与天平的模型相匹配，天平两端各1份，余下为1份，刚好3份，不管天平平衡与否都能第一次排除■的正品，次品就隐藏在1份里，称的次数自然减少。由此推导出：当物品的个数刚好是3的倍数时平均分成3份称的次数最少。平均分成3份即“分3模型”在充满观察、对比、分析与综合的活动过程中被建立。引领学生对“知识背后的知识”的探究，体验知识的形成过程，发现知识的形成通道才是数学建模教学背景下应有的学习过程。

三、变式例证，完善“分3模型”

所谓变式是指变更对象的非本质属性，突出隐蔽的本质要素。变式例证就是运用不同的知识和方法，对有关数学概念、定理、公式及课本上的习题进行不同角度、层次、情形、背景等的变化的例证，引导学生从变的现象中发现不变的本质，从不变中探求规律，逐步完善数学模型。

例如，当学生概括出当所称物品是3的倍数时平均分成3份，称的次数既最少又能保证找出次品。教师提问：“如果所称物品不是3的倍数时是不是也分成3份称，次数最少又能保证找出次品呢？就如从8瓶钙片中找出1瓶较重的钙片，怎么分？至少称几次能保证找出次品？”教师再次引导学生用符号表征。

图6与图7为学生中典型的两种分法。学生通过观察、对比后发现分成3份的次数最少又保证能找出次品。教师再提出假设：如果所称物品是10瓶、11瓶钙片呢？（列出图8）

引导学生观察发现：最多的1份比最少的1份少1。类比概括：当所称物品不是3的倍数时，把物品尽量平均分成3份，最多的1份比最少的1份多1。总结：当所称物品是3的倍数时，把所称物品平均分成3份；不是3的倍数时，把所称物品尽量平均分成3份，即“分3模型”。这一模型与天平模型相吻合。

四、拓展延伸，提炼“3■ 模型”

用天平“找次品”这一模型的建立如果仅仅止于把所测物品“平均分成3份”或“尽量平均分成3份”，那模型的建立是不完整的。应结合教材中的“你知道吗？”进行分析，提炼出最终的模型――“3■模型”。

用天平找次品时，所测物品数目与至少需要测试的次数有以下关系（只含一个正品，已知次品比正品重或轻）

问题：（1）要保证6次能测出次品，待测物品可能是多少个？（2）从上表中你能发现什么规律？为什么？

要解决以上两个问题就要先提炼出用天平找次品的最终模型。引导学生从上表中找出3、9、27、81、243等数量，让学生发现这些数刚好是3的n次方，即3■、3■、3■、3■……3■，对比分析后发现3的几次方刚好就是天平所称的次数。就如3的1次方刚好称1次，物品的范围在2～3；3的2次方刚好称2次，物品的范围在4～9；3的3次方刚好称3次，物品的范围在10～27等。提炼出3■模型后问题（1）就迎刃而解，先算出3的6次方是729，则待测物品可能是244～729。此环节其实是过程性模型，其实质是渗透以个别的知识为前提，推出一般性结论的归纳推理；从一般性结论出发，得到个别的、具体的演绎推理的方法。

（作者单位：福建省安溪县实验小学？摇？摇？摇本专辑责任编辑：王彬）