创设探究平台 激发学生思维

2013年4月，笔者参加了江苏省“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动，对于“以学定教，学教相长”有了更深刻的认识和感悟。下面，结合这堂展评课的教学设计，来谈谈我如何在实践中进行探究摸索，以处理好“学”与“教”的矛盾的。

一、教学内容的分析

1.教材的内容和作用。

本节是必修五第三章“不等式”的重要内容之一，基本不等式的提出来源于实际生活，因此创设的问题情境应贴近学生的生活，以激发他们探索问题和解决问题的欲望。基本不等式的证明是一个重要环节，在学生自主探究学习的过程中，要引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题。本节的最后是对基本不等式的简单应用，为下一节的教学做好铺垫工作。

2.教学重点和难点。

学生在“实际背景”的激发下探讨出两个平均数的存在，一个是生活中较容易想到的估计值，另一个是由物理知识推得的精确值，从而自然地引出“算术平均数”和“几何平均数”的概念，并提出这两个“平均数”孰大孰小的问题。书本上给出了3种不同的证明方法，而学生的证法可能会更开放。除了从“数”的角度给出严谨的证明，我们也可以给出合理的“几何解释”，以体现“数形结合”之美。因此本节课的重、难点确定为：

重点：基本不等式的证明，理解基本不等式等号成立条件及“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。

难点：基本不等式的“几何解释”。

二、教学目标的确定

1.知识与技能：探索并了解基本不等式的证明过程，会利用基本不等式证明其它的不等式，解决简单的最大（小）值问题。

2.过程与方法：通过一张让人垂涎欲滴的大草莓照片，在“味蕾”的激发下，让学生带着问题去思考，猜测并证明出“基本不等式”。

3.情感态度价值观：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；培养学生理性、严谨、全面的思维，丰富学生数形结合的想象力。

三、教学方法的选择

先让学生通过实际问题抽象出基本不等式，定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，借助“几何画板”多媒体教学，动态地展示“半径不小于半弦”的几何解释。

四、教学过程

1.问题情境。

师：最近的一个周末我和朋友一起去农场采草莓，采草莓的时候我发现一个特别大的草莓，我的好奇心就上来了，我特别想知道这个草莓到底有多重？于是找来一架天平。我把这个草莓放在天平的左盘上，在右盘放上砝码使天平平衡，砝码的质量为a，那草莓的质量为多少呢？

生：a。

师：可惜的是这架天平制造得并不精确，天平的两臂长略有不同，显然a并非草莓的实际质量。于是我把草莓放在右盘又重新称了一次，称得质量为b，这个质量也不是草莓的实际质量。两次测量得到两个不同的结果，你觉得该如何合理地表示草莓的质量呢？

生：。

师：a和b一个偏大，一个偏小，我们用来表示可以减小误差，但这个数还是一个估计值啊。你能用所学的物理知识来探求一下草莓质量的精确值吗？

生：假设左臂长为l1，右臂长为l2，利用杠杆原理可得l1a=xl2l1x=bl2，两式相除得：=，因为x>0，所以得到草莓质量的精确值为。

【课堂教学中设置的问题情境越贴近学生的生活，就越能引起他们的兴趣，激发他们探索问题和解决问题的欲望。如何设置课堂教学的问题情境，使得提出的问题既能引起他们的兴趣，又能直奔主题呢？

本节课一开始根据教材重新设计了问题情境，设置了一张让人垂涎欲滴的大草莓照片，提出了略有挑战性的问题，希望能以此吸引他们的眼球，在“味蕾”的激发下共同探讨出“基本不等式”，让学生感到数学不再是枯燥无味的推理计算，而是来源于生活，并能解决生活中实际问题的有效工具。】

2.学生活动。

师：相对于草莓的实际质量而言，a和b一个偏大，一个偏小，而和分别是对a和b实施某种“平均”处理，我们把称为a和b的算术平均数，把称为a和b的几何平均数。

（幻灯片显示）问题1：对于正数a和b，它们的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？

此时，学生中会出现两种不同的声音，一是取一些具体数据进行试验，作出合理的猜想，二是在理论上给出严谨的证明。教师应充分尊重学生的思维，对上课流程进行灵活的变通。

3.建构教学。

1.学生通过取一些具体数据进行计算，并由此作出合理的猜想。

2.学生作出猜想≤（a>0，b>0）。

3.引导学生分析思考，给出结论的证明，并点评。

（幻灯片显示）问题2：如何证明≤（a>0，b>0）？

【本课中，基本不等式的证明是一个重要环节，这是引导学生自主探究学习的过程。在这一过程中，教师应引导学生探索用不同的方法去证明。除了学生独立思考外，还应重视“生生激励”，努力营造平等和谐的课堂氛围，鼓励学生展开讨论，发表各自不同的见解，促进共同发展。而越动态的过程越能考验教师驾驭课堂的能力，要想做到在课堂上游刃有余，教师就应做到充分“备学生”，了解学生的知识储备。

不等式的证明，书本上给出了3种不同的做法，而学生的证法可能会更开放，证明的书写也可能不够规范和严谨。不少学生会首先把和进行平方，然后再比较，这是基于学生知识储备中“化无理为有理”的思维习惯。此时教师应在充分肯定这种方法的基础上，因势利导，归纳得出“作差比较法”，再根据上述平方作差后的关键步骤――配方，引导学生不平方直接作差后再配方，就可以得到教材上的证法一。也有学生尝试用“分析法”去完成，这也是基于学生知识储备中“由果索因”“化未知为已知”的想法，但在书写时不会规范表述，因为学生的知识储备中没有分析法规范性的书写，这要在选修2―2中才进行系统的学习，因此教师就不必过度提出“规范性要求”，只需略加点评即可。

教师把探索证明方法的主动权交给了学生，就要对学生的想法给予充分的肯定和鼓励，但无论过程如何完成，教师都应积极地参与其中，适时点拨启发，并给予必要的指导，形成师生间双向的、能动的交流，从而保证学习的质量和效果，完善学生的知识体系和认知结构，提高学生的数学能力。】

4.几何解释。

师：以上的几种证法都是从“数”的角度对基本不等式加以证明，既然被称为“几何平均数”，那么能否给出基本不等式的几何解释？

（幻灯片显示）问题3：你能给出基本不等式≤（a≥0，b≥0）的几何解释吗？

师：你能在图中找出一条长度为的线段吗？

生：两条线段长度和的一半，即线段OA或OC。

师：你能在图中找出更多的，甚至无数条长度为的线段吗？

生：以AC中点为圆心，为半径的圆上的任意一条半径。

师：你能在图中找出一条长度为的线段吗？

学生此处略有迟疑，但可以由之前的板书=想到构造相似三角形，部分基础好的学生会联想到射影定理。

师：在图中我们找到长度为的线段BD，那么在刚才无数条长度为的线段中，你选择哪一条线段与BD比较呢？

生：线段OD。

师：很明显，因为直角三角形的直角边小于斜边，我们可以得到

【在计算机时代，学生对电脑的兴趣也大大提升。电脑在数学教学中起的作用不仅仅局限于幻灯片的放映， 随着几何画板的引入，一些图形问题如果能借用软件动态地展现在学生面前，就更能体现“数形结合”的价值。教材中出现的“半径不小于半弦”是对基本不等式

5.例题讲解。

例1：设x为正数，试证明下列不等式成立：x+≥2。

练习：（1）设a，b为正数，证明：+≥2；

（2）设a，b为正数，证明：a2+b2≥2ab。

学生板演后教师作如下点评：

①对于这两个不等式，我们也可以把范围适当放开，对于第（1）小题，只需要a，b同号；对于第（2）小题，a，b可以取任何实数。

②换一个角度看不等式x+≥2，如果把x+看成一个函数，这个不等式意味着函数具备什么样的性质？――意味着函数f（x）=x+在（0，+∞）上有最小值2，因此我们也可以利用基本不等式来求函数的最值。

例2：已知函数y=x+，x∈（1，+∞），求此函数的最小值。

师：在利用基本不等式求函数最值时要注意：一正、二定、三相等。对于不满足的条件，可根据需要适当进行转化。

【人们在接受新的知识后，往往并不会直接运用，而是需要一段时间的沉淀，然后再加以运用。这样的思维习惯在学生中尤为明显。同时，学生在做题时，往往只会孤立地看待例题，并不善于研究题目与知识点之间，题目与题目之间的深层次关系。不少学生经常会忽略教材中例题的作用，认为它过于简单。殊不知例题中蕴含着大量的信息，渗透了重要的数学思想和方法，起到巩固新知、提高能力的作用，而且例题往往是难题、高考题的命题根源所在。

教材中安排了两个例题，一是证明不等式，另一个是求函数的最值，分别展示了基本不等式的两大运用。在处理例一时，学生仍然会沿用以前的老方法，即比较法、分析法或综合法，而不会“现学现用”，直接用基本不等式加以论证。讲解过程采用学生回答、教师板书的形式，既满足学生的思维习惯的要求，允许他们用熟悉的比较法、分析法或综合法解题，同时展示基本不等式法证明的效果，让学生感受到基本不等式的魅力所在，通过比较，让学生在思维上接受基本不等式，并将其作为一个证明工具。同时增加若干练习以达到巩固的目的。

例1除了体现“基本不等式”是证明不等式的工具之外，也为例2――求函数的最值作铺垫。引导学生对于同一个问题，从不同的角度来分析研究，是培养学生能力的途径之一。】

五、课后反思

“学”是“教”的目的，教师的“教”是为了让学生“想学”、“会学”和“学会”。学生真正意义上的学习不应是被动地接受现成的书本知识，而应是一种积极的心态。如何发现问题、探索问题，如何充分利用所学知识解决问题，如何在学习的过程中培养学生的自主意识、探索精神，这才是教师真正的任务所在。“以学定教”需要我们在每一堂课中认真地研究摸索，“学教相长”是教师和学生共赢的一种和谐状态。

（作者单位：南京外国语学校）