招标最低限价与公开保留价对防范串谋的共同作用

摘要：本文从防范投标人串谋的角度出发，将招标中的最优公开保留价和最低限价两种方式结合起来，通过一个离散的博弈模型，分析了第二价格密封招标中最低限价和公开保留价在防范串谋中的共同作用，经过研究发现最优公开保留价和最低限价对防范串谋方面所起作用，依赖于投标人的价值分布以及出现的可能性，另外还与投标人进行平行串谋时的成本有关。

Abstract: From the angle of conspiracy prevention of tender people, this paper combined the Minimum Price and Open Reserve Price, and analysed the combined action of Minimum Price and Open Reserve Price on preventing conspiracy in the second-price sealed bid through a discrete game model. After research it found that the role of Minimum Price and Open Reserve Price relyed on the value distribution of tender people and the possibilities of appearance, also related to the cost of parallel conspiracy of tender people.

关键词：招标；最低限价；公开保留价；防范串谋

Key words: biding；Minimum Price；Open Reserve Price；preventing conspiracy

中图分类号：F21 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）11-0140-03

0 引言

在拍卖或招标中，拍卖人或招标人可以采用两种设定保留价格的方式：公开保留价和隐藏保留价。在公开保留价的情况下，拍卖人或招标人在投标人进行投标之前就把保留价公布出来；在隐藏保留价的情况下，拍卖人或招标人在投标人报价之前不公布保留价，而是在投标人提交投标之后再宣布保留价格。在拍卖中，无论采用哪种保留价的方式，只有报价最高的投标人的报价不小于保留价时，他才能在拍卖中获胜；而招标中则刚好相反，只有报价最低的投标人的报价不大于保留价时，他才能取得招标的胜利。上述招标中的公开保留价事实上是一个最高投标限价，在实践中，往往还设定最低投标限价（minimum prices）。招标中的最低限价一般作为一个衡量投标人最低成本的标尺，排除在投标中异常低的投标报价，从而保证招标项目的最终完成质量。在拍卖中除了最低保留价外，也有最高限价的规定（拍卖中这个限价往往被称为ceiling或bid-cap）。

在已有的拍卖和招标文献中，Banerjee 和 Chakoborty（2004），Che 和 Gale（1998）以及Gavious et.al.（2002）研究了拍卖中最高限价（bid-cap）的作用，不过在他们的研究内容中没有考虑串谋的问题；Graham 和 Marshall（1987）以及Kirkegaard（2005）研究了第二价格拍卖中公开保留价对防范串谋的作用，而没有提到最高限价在预防投标人串谋方面的作用。本文主要是从防范串谋的角度出发，将招标中的最优公开保留价和最低限价两种方式结合起来，通过一个离散的博弈模型，分析第二价格密封招标中最低限价和公开保留价在防范串谋中的共同作用，试图找到一个公开保留价和最低限价的定价组合，可以有效的预防投标人之间串谋行为的发生。

1 基本假定

假设招标人采用第二价格密封招标的方式对一个项目进行招标，有两个投标人参与投标，招标人在这个招标中同时采用公开保留价r和最低限价m的方式，投标人i对该项目的估价vi为私有信息，vi有两个可能的取值v和v，0v

在招标开始之前，招标人公开保留价r和最低限价m，满足条件vmr。投标人决定是否进行串谋。因为只有两个投标人，所以当两个投标人都选择串谋时串谋才能发生。投标人同时递交报价，当他们不进行串谋时，他们的报价bi∈[m，v]。当他们串谋时，报价bi=max[vi，r]。假定如果投标人选择串谋，则他们可以按照承诺执行串谋报价。当投标人进行串谋时，由于要防止被招标人发现以及串谋可能会对自己今后参与相关项目投标存在障碍等问题，考虑投标人存在串谋成本c>0。下面，首先分析投标人进行串谋和不进行串谋时，不同的公开保留价情况下投标人期望收益和招标人的期望支出情况，然后给出投标人进行串谋和不进行串谋的无差异条件，最后得出招标人防范串谋的最低限价和最优公开保留价定价组合{m，r}。

2 投标人进行串谋时的情况

下面首先分析投标人串谋时，在不同的公开保留价情形下，投标人的报价和期望收益以及招标人的期望支出情况。在投标人串谋的情况下，假设招标人设定公开保留价为r，可以根据公开保留价的大小分为以下两种情况进行讨论。

2.1 如果rv，由于bi=max{vi，r}=r，则投标人的报价矩阵如表1所示。

此时，投标人的期望收益为：

U（r） =-c（1）

招标人的期望支出为：∏（r） =r（2）

2.2 如果r

当投标人的报价组合为（v，v）时，两人报价都超过最高保留价，此时招标人不会将项目进行分配；当投标人的报价组合为（v，r）或（r，v）时，报价为r的投标人获胜并获得招标人给予的与公开保留价r相等的支付，这两种情况出现的概率均为θ（1-θ）；当投标人的报价组合为（r，r）时，即两个人报价相等均等于最高保留价的情况下，两人得到支付分别为r/2，这个组合出现的概率是（1-θ）2。

因此，投标人的期望收益为：

U（r） =θ（1-θ）（r-）+-c（3）

可以得出，招标人的期望支出为：

∏（r） =2θ（1-θ）+r=（1-θ）r（4）

3 投标人不进行串谋时的情况

接下来分析投标人不进行串谋时，在不同的公开保留价情形下，投标人的报价和期望收益以及招标人的期望支出情况。仍根据公开保留价的大小分为两种情况进行讨论。当投标人不进行串谋时，容易看出bi=max{vi，m}是投标人的一个均衡报价策略。

3.1 如果rv，则存在两种情形：vmvr和vmr。

3.1.1 当vmvr时，投标人的报价矩阵为表3所示。

当投标人的报价组合为（v，v）时，两人报价相等，获得的支付等于自己的报价，收益为0；当投标人的报价组合为（v，m）或（m，v）时，报价为m的投标人获胜并获得招标人给予的支付min（r，v）=v，这两种情况出现的概率均为θ（1-θ）；当投标人的报价组合为（m，m）时，即两个人报价相等均等于最高保留价的情况下，两人得到支付分别为m/2，这个组合出现的概率是（1-θ）。

此时，投标人的期望收益为：

U（m） =（m-）+θ（1-θ）（-）（5）

可以得出，招标人的期望支出为：

∏（m） =（1-θ）m+（2θ-θ）（6）

3.1.2 当vmr时，投标人的报价矩阵如表4所示。

此时，投标人的期望收益为：U（m） =（7）

招标人的期望支出为：∏（m） =m（8）

3.2 如果r

当投标人的报价组合为（v，v）时，两人报价都超过最高保留价，此时招标人不会将项目进行分配；当投标人的报价组合为（v，m）或（m，v）时，报价为m的投标人获胜并获得招标人给予的与公开保留价r相等的支付，这两种情况出现的概率均为θ（1-θ）；当投标人的报价组合为（m，m）时，即两个人报价相等，两人得到支付分别为m/2，这个组合出现的概率是（1-θ）2。

此时，投标人的期望收益为：

U（m） =（m-）+θ（1-θ）（r-）（9）

招标人的期望支出为：

∏（m） =（1-θ）m+（2θ-θ）r（10）

4 招标最低限价与公开保留价定价组合

下面通过对招标人期望支出最小化的分析，来找到最优的防范投标人串谋的最低限价和公开保留价定价组合{m，r}。

令U（m） =U（r） ，即rm时，投标人在串谋和不串谋时得到的收益相等，也就是说这个条件保证了投标人在串谋和不串谋之间是无差异的。在这种无差异情况下，一般假定投标人不进行串谋。

由（1）式和（5）式可以得出：

（m-v）+θ（1-θ）（v-v）=-c（11）

设m*（r）为方程U（m） =U（r） 即（11）式的解，可以得出：m*（r）=（12）

从（12）式可以看出，使投标人在串谋和不串谋之间期望收益无差异的最低限价m*（r）依赖于最优公开保留价r。

再令U（m） =U（r） ，即rmv时，投标人在串谋和不串谋时得到的收益相等，这个条件同样保证了投标人在串谋和不串谋之间是无差异的。

由（1）式和（7）式可以得出：

=-c（13）

设m**（r）为方程U（m） =U（r） 即（13）式的解，可以得出：m**（r）=r-2c（14）

下面来分析一下招标人如何同时采用公开保留价和最低限价两种方式来防范投标人之间串谋行为的发生。当给定最优公开保留价r时，根据（5）式和（9）式可知，对于mv不可能是最优机制，所以下面主要讨论mv的情况，也就是说在接下来的分析中只考虑m*（r）的情况。

下面针对rv和r

4.1 rv时。根据（1）式和（3）式，串谋时投标人的收益随公开保留价r的增加而上升。如果rv，对同样的{m，r}，根据（5）式、（7）式和（9）式，招标人在投标人串谋情况下的期望支出大于投标人非串谋情况下的期望支出。为了降低投标人串谋的收益，招标人应选择尽可能低的公开保留价，另外，招标人的期望支出随m增加而增加，m*（r）随r增加而上升，所以对于招标人来说最优选择是令r=v，m=max{m*（v），v}。

由（12）式可知m*（v）=，容易看出：m*（v）

（15）式等价于：c（16）

当上述条件满足时，即当{r，m} ={v，m*（v）}时，招标人的期望支出：∏（m）=（1-θ）2m+（2θ-θ2）v=（1-θ+θ2）v+θ（1-θ）v-2c（17）

如果m*（v）（18）

则有m=max{m*（v），v}=v，{m，r} ={v，v}，此时招标人的期望支出：∏（m）=（1-θ）2m+（2θ-θ2）v=（1-θ2）v+（2θ-θ2）v （19）

4.2 r

U（r） =-c（20）

根据（9）式，投标人不进行串谋时的收益为：

U（m） =0（21）

由于U（r）

根据（10）式，在投标人不进行串谋的情况下，r=m=v的定价组合可以使招标人的期望支出达到最小，因此当r

此时招标人的期望支出为：

∏（m） =（1-θ）2m+（2θ-θ2）r=（1-θ2）v （22）

要使{m，r} ={m*（v），v}作为最优定价组合，（17）式应小于（22）式，也就是说：（1-θ+θ2）v+θ（1-θ）v-2c

由（23）式得出：c>（24）

同理，要使{m，r} ={v，v}作为最优定价组合（19）应小于（22）式，也就是说：（1-θ）2v+（2θ-θ2）v

进而可以得出：（2-θ）v

综合以上分析， 可以得出如下命题。

命题1 在第二价格密封招标中，为了防范投标人平行串谋，招标人的最低限价和最优公开保留价定价组合{m，r}为：①如果（2-θ）v2（1-θ）v，则m=r=v；②如果（2-θ）v

m=r= cm=m*（）>,r=

5 结论

通过命题1我们可以发现最优公开保留价和最低限价对防范串谋方面所起作用，依赖于投标人的价值分布v和v以及出现的可能性θ，另外还与投标人进行平行串谋时的成本c有关。实际上，最优公开保留价以及最低限价对防范串谋的作用主要是体现在（2-θ）v

但是，如果考虑到串谋成本c的其他取值情况，最优定价策略也许就不再涉及一个有效的下限。当串谋成本c很小时，c，即串谋比较容易发生时，最优定价组合为r=m=v，这说明一个价格为v的事后定价机制要优于招标方式。而当串谋成本c非常大时，

以上对最低限价和公开保留价定价组合的分析是从投标人私有估价为离散的角度出发的，当投标人私有估价为连续分布时如何将结论推广下去还需要进一步研究。

参考文献：

[1]Banerjee, P. and A. Chakroborty.Auctions with ceilings[Z].Working Paper,Rutgers University, Newark ,2004.

[2]Che, Y. and I.L. Gale.Caps on political lobbying[J].American Economic Review 1998,88:643-651.

[3]Gavious, A., B. Moldovanu and A. Sela.Bid costs and endogenous bid-caps[J].The RAND Journal of Economics,2002,33:709-722.

[4]Graham, D.A. and Marshall, R.C. Collusive Bidder Behavior at Single-Object Second-Price and English Auctions[J]. Journal of Political Economy,1987,95,(6):1217-1239.

[5]Kirkegaard, R.Participation fees vs. reserve prices in auctions with asymmetric or colluding bidders[J].Economics Letters,2005,89:328-332.

[6]杨颖梅，王文举. 招标支付等价性及最优保留价博弈分析[J]. 经济与管理研究，2007，11：54-58.

[7]杨颖梅，王文举. 第一价格密封招标中最优保留价与报价策略博弈分析[J].中国物价，2009，8：16-18.

[8]王文举，杨颖梅 . 招标人平行串谋与最优公开保留价博弈分[J]. 经济与管理研究，2011，10：77-85.

[9]敬辉蓉，李传昭.拍卖中卡特尔的两种合谋机制研究[J].管理工程学报，2008，3：130-133.