几何变换在立体几何解题中的应用

图形变换是高中教育阶段数学课程标准中，“空间与图形”领域的一个主要内容，努力体现运动变换的理念与思想，这也是与传统教材有较大差别的地方。初中阶段的图形变换包含平移、翻折和旋转，通过各种方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，能解决一些简单的平面几何问题，高中新课程中新增了矩阵与变换，这是对近现代数学中一些重要数学思想方法的介绍，但不是把大学有关内容的简化下放，在新课程教学中，矩阵中的所有概念和结论都是先通过具体的几何变换使学生获得感知的，借助几何直观，有利于学生理解抽象的代数内容，从而也降低了矩阵内容的抽象程度。一般情况下，平面中的几何变换总是会引起更多人的兴趣，空间中的几何变换常常被忽视，其实，在空间中，几何变换也同样有趣和有效，。本文就此与大家作一些探讨。

一、对称变换：

解题过程中使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散条件相对集中，以利于问题的解决．常见于求折线长度和最小值的问题，核心思想是化曲为直。

例1：棱长为2的正方体 中， 为棱 中点， 在截面 上，则（ ）的最小值为 ____

解：设出点 坐标，列出函数表达式似乎可行。但显然运算量很大，难以凑效，联想对平面几何中的小河取水问题，可作点 关于平面 的对称点 ，则 为 中点，只须连 ，交平面 于点 ，此时

二、旋转变换：

类似于代数式中的对称变换，旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变化．在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形．当几何图形具有一定程度的对称性时常可用此变换，常用到的几何体有球体、正四面体、正棱柱等

例1：正三棱柱 中，若 ，求证：

解：此题是一道陈题，但参考书上可见的解法都很不简明，现提供一种旋转变换的新解法，视此三棱柱无上下盖，沿任一侧棱将其剪开并摊平，

必然得到此图

显然： 与 的相对位置关系同 与 的相对位置关系完全相同，故以不同方式展开后再重新折合为三棱柱时，空间中的位置关系亦不变，

三、等积变换：

主要有两类，第一类利用平行和换顶点的等体积转换，其解题原理主要是：①等底等高的两棱锥体积相等；②同一锥体变换顶点次序，体积不变③有时要先将某些几何体分割或拼接为柱、锥、体积就较易求解

例1：三棱柱 中， 、

分别为 和 上的动点，且 ，

若 ，则 ________

原题为填空题，容易想到取极端情形求出特例时的

体积即可，即使直接求解一般情形方法也较多。

法（一）：, ,

法（二）：将原三棱柱补为如图所示的四棱柱

则

第二类：利用祖原理对旋转体进行等积变换，祖原理的内容是：夹在两个平行平面间两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

这样的例子在近年来竞赛中俯拾皆是，现借课本（人教版06年第2版） 的一道习题，利用等积变换证明球的体积公式。

如图，在同一平面上分别放有一个半径为 ，高为 的圆柱，从柱中挖去两个圆锥，它们都以圆柱的中截面的中心为顶点，又分别以圆柱的上下底面为底面。任作一个平行于圆柱底面的平面，分别截这两几何体，得到一圆形界面和一环形截面，易知两截面面积总相等，由原理，球的体积等于挖去圆锥后圆柱剩余部分，即

四、射影变换

(与射影几何学中引入无穷远点不同)，在中学阶段，这种变换常见于求无棱二面角，以及某些面积问题和最值问题，其解题思想类似于复变函数中的对应和转化，如：求椭圆的面积公式。

如图，半径为 的圆柱被一平面所截，若所构成的锐二面角为 ，则 ，其中 ，而椭圆长轴为 ，即 A，短轴为 ，即 ，显然，

解几何题时，若是题目给出的条件显得不够或者不明显，常将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答．图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在解题中会收到奇效，也将有效地提高思维品质。