直线与椭圆相切条件的几种几何解释

受直线与圆的位置关系判断方式有代数法和几何法两种的启发,笔者从直线l:Ax+By+C=0与椭圆E：x2a2+y2b2=1相切的条件“a2A2+b2B2=C2”出发,通过代数式的变形,发现了有趣的几何意义,在此与大家共享.

1 结论

直线l:Ax+By+C=0与椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)相切a2A2+b2B2=C2 ①

2 形式变形及几何解释

形式变形1 (1)若B≠0,①式两边同除以B2得,a2A2+b2B2=C2C2-a2A2B2=b2(-C+aAB)•(-C-aAB)=b2,令y1=-C+aAB,y2=-C-aAB,则y1、y2分别是直线x=±a与直线Ax+By+C=0的交点的纵坐标.

几何解释1 斜率存在的直线l与椭圆E相切,则直线l与x=±a交点的纵坐标y1、y2之积等于椭圆短半轴的平方,即y1•y2=b2.

形式变形2 (2)若A≠0,①式两边同除以A2得,a2A2+b2B2=C2C2-b2B2A2=a2(-C+bBA)•(-C-bBA)=a2,令x1=-C+bBA,x2=-C-bBA,则x1、x2分别是y=±b与直线Ax+By+C=0的交点的横坐标.

几何解释2 斜率不为零的直线l与椭圆E相切,则直线l与y=±b交点的横坐标x1、x2之积等于椭圆长半轴的平方,即x1•x2=a2.

形式变形3 (3)不妨令AB>0,C

如图1,E(0,b)、Q(a,0)、M(0,-CB)、N(-CA,0),作EF∥PQ∥MN,F、P分别是直线EF和PQ与x轴、y轴的交点,则P(0,aAB),F(bBA,0),

分别作MN、PQ、EF关于x轴、y轴的对称直线,显然由对称性得,它们分别围成三个菱形.则②式|OQ|•|OP|+|OE|•|OF|=|OM|•|ON|SOPQ+SOEF=SOMNSOPQ=SOMN-SOEF=S梯形EFMNS菱形MN1M1N=S菱形PQ1P1Q+S菱形EF1E1F

几何解释3 斜率存在且不为零的直线l与椭圆E相切,则直线l和过椭圆顶点与l平行的直线及它们关于两坐标轴的对称直线围成的菱形中,最大的菱形面积等于其余两菱形面积之和,即S菱形MN1M1N=S菱形PQ1P1Q+S菱形EF1E1F.

注 (Ⅰ)当AB=0时,不能围成四边形,此时直线l与椭圆E相切的几何意义明显.

(Ⅱ)当PQ、EF重合时,内部两菱形重合,结论亦成立,即S菱形MN1M1N=2S菱形PQ1P1Q

(Ⅲ) 由SOPQ=SOMN-SOEF=S梯形EFMN得,两阴影部分面积相等,即SⅠ=SⅡ(如图1).

形式变形4 因为A2+B2≠0,故a2A2+b2B2=C2 a2A2+b2B2+(A2b2)=C2+(A2b2)(A2+B2)b2=C2-(a2-b2)A2C2-c2A2=(A2+B2)b2(其中c为椭圆的半焦距)C2-c2A2A2+B2=b2|-cA+C|A2+B2•|cA+C|A2+B2=b2,令d1=|-cA+C|A2+B2,d2=|C+cA|A2+B2,则d1、d2分别表示焦点F1(-c,0)、F2(c,0)到直线l:Ax+By+C=0的距离.

几何解释4 直线l与椭圆E相切,则椭圆E的两焦点到直线l的距离d1、d2之积等于椭圆短半轴的平方.即d1•d2=b2.

个人简介 田广明，男，毕业于山东师范大学数学教育专业，本科学历，山东济南人，出生于1973年12月，中学一级教师，研究方向：中学（高中）数学教育.