高中数学探究式学习

探究式学习（inquiry learning）是一种积极的学习过程，主要指的是学生在科学课中自己探究问题的学习方式，具体地，是学生围绕着一定的问题、文本或材料，在教师的帮助或支持下，仿照科学研究的过程来学习科学内容，从而在掌握科学内容的同时体验、理解和应用科学研究方法，掌握处理解决问题能力的一种学习方式。与传统式学习相比，探究式学习更注重学习者的深入参与，并突出强调学习主体自我感悟与发现，使认知活动和情感活动自然地交织在一起，达成认知变化与情感变化的统一，从而促成其先前体验和经验系统的变化发展。

一、 基于“问题导学”的探究式学习

“问题导学”是指教师在课堂教学中以问题为载体，通过启发、引导学生解决问题，从而达到以学生“学习”为根本目的的教学方法和策略。实施问题导学，促进教师由“传授”转换为“导”，学生由“听受”转换为“学”，将“教”为重心转换到“学”为重心，这是“问题导学”的核心，这三个转换也体现了现代教学思想的基石，构成了现代教学思想的基本框架。

案例1：在学习“函数零点的存在性定理”时，可通过提出以下的问题生成定理：

学生准备一支笔芯和一条细线，放在桌面上，保持笔芯固定不动，并当成轴，细线当成函数图像，活动细线的两个端点A，B，观察细线与笔芯的交点的个数，思考以下问题：

1.如果两端A,B在笔芯的两端，则细线与笔芯所在的直线有几个交点？交点会在何处？

（1）如图1，算不算一种情况？

（2）如图2，算不算一种情况？

2.如果两端A，B在笔芯的同侧，则细线与笔芯所在的直线有几个交点？

3.什么条件下，细线和笔芯所在直线一定有交点？如果细线断了，还能保证吗？

4.结合函数零点的概念，如何用数学语言来表达上述结论？

执教者利用4个问题引领学生构建了函数零点的存在性定理，直观、自然，学生理解是深刻的。

二、 基于“变式引申”的探究式学习

变式是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。如果我们能对已有的例习题进行变式、拓展、引申，那么一方面可以培养学生积极思考的习惯，提高学生学习的兴趣，同时也达到深化理解数学知识、方法、思想的目的，实现“纵向到底”的功效。运用这种方法的关键是师生要有强烈的问题意识，敢于猜想，大胆提问，小心求证。

案例2：已知f（x）=x2-2x+b2，若?坌x∈［0，］，f（x）＞1成立，求实数b的取值范围。

变式：?埚x0∈［0，］，f（x0）＞1成立，求实数b的取值范围。

引申：已知f（x）=x2，g（x）=（）x-m，若对于?坌x1∈［-1，3］，?埚x2∈［0，2］使得f（x1）≥g（x2），求m的取值范围。

三、 基于“特殊到一般”的探究式学习

由特殊到一般，属于合情推理中的归纳推理，这是一种科学思维方法――特殊问题一般化方法，可以是由具体数字推广到一般性字母，也可以由有限项拓展到无限项，其中由数字到字母，渗透分类讨论的数学思想方法，有利于培养学生思维的严谨性与发散性，由有限项拓展到无限项，有利于发展学生的抽象思维品质，通过解决一个问题从而解决一类问题。

案例3：（苏教版必修《数学5》习题3.4探究拓展第11题）如图3，有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m，若从离地面1.5m的C处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？

改编题：国庆长假，小明去参观画展，为保护壁画，在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃墙与观众隔开，小明在一幅壁画正前方驻足观看。图4是小明观看该壁画的纵截面示意图，已知壁画高度2米，壁画底端与地面的距离BO是1米，玻璃墙与壁画之间的距离OC为1米，若小明身高是α米（0＜α＜3），他在壁画正前方x米处观看，问x为多少时，小明观看这幅壁画上下两端所成的视角θ最大？

解题思路：本题要分小明身高0＜α＜1，α=1，1＜α＜3三种情况讨论，再利用两角的和、差的正切公式列出tanθ的表达式，通过函数的单调性即可求出视角θ的最大值。

原题均为数字计算，思维张力略显不足，改编后，情境符合生活实际，问题探究得更深刻，由数字到字母，涉及分类讨论思想方法，具有较高的区分度。

四、 基于“构造创设”的探究式学习

解数学问题，常规的方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题的解决用常规方法比较困难，甚至无从着手，这时要重新审视题意，要对题目的信息进行加工、构建、变形、迁移、想象，构造出新的数学模型，找到一条绕过障碍的新途径。这种依据题设特点，假借已知条件中的元素为“元件”，依托已知数学关系为“支架”，构造出新的数学模型，沟通数学模型间的相互关系，从而转换命题，使相关问题得到迅速破解，称为构造法。

案例3： 已知sinA＋sin3A＋sin5A＝a，cosA＋cos3A＋cos5A＝b，求证：当b≠0时，tan3A＝

证明：如图5，因点M（cosA，sinA）、N（cos3A，sin3A）、P（cos5A，sin5A）均在单位圆上，连结OM、ON、OP，则有│MN│=│NP│，于是MNP为等腰三角形，其重心必在NO上，又MNP的重心坐标x＝（ cosA＋cos3A＋cos5A）＝b，y＝sinA＋sin3A＋sin5A＝a，故tan3A＝a÷b＝。

案例4：求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n×2n-1。

证明：设某班共有n名学生，今要从中选若干人组成一个队去慰问学校的老教师，要求队中有一名队长，求有多少种组队方法？

分两步：先决定队长，有Cn1种方法；对余下的n-1人，每个人都选上或选不上两种可能，由乘法原理知共有n×2n-1种组队方法。

另一方面由于队员数未定，故按选出的人数分类，在选出的人中再选队长：若选1人则有Cn1×1种；选2人则有Cn2×2种，……，选n人则有Cnn×n种，由加法原理知共有Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn种组队方法。

综上，Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n×2n-1成立。

五、 基于“类比迁移”的探究式学习

当人们遇到一个新问题(靶问题)时，往往想起一个过去已经解决的相似的问题(源问题)，并运用源问题的解决方法和程序去解决靶问题，这一问题解决策略被称之为类比迁移（analogical tansfer）。在一些情况下，类比迁移发生在具有相同的结构特征的两种不同的概念领域，这种类比迁移称为不同领域间的类比迁移(between-domain analogical transfer)； 在另外一些情况下，类比迁移发生在相同或非常接近的概念领域，这种类比迁移称为相同领域间的类比迁移（within-domain analogical transfer）。许多研究者都认为类比迁移是解决所有新问题的一个主要方法。

案例5：

原题：如图6，F为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，直线x=c交双曲线于B1，B2两点，直线B2F交双曲线于点B，连接BB1，则直线BB1恒过定点H（-，0）。

类比1：如图7，F为椭圆+=1（a＞0，b＞0）的左焦点，直线x=c交椭圆于B1，B2两点，直线B2F交椭圆于点B，连接BB1，则直线BB1恒过定点H（-，0）。

类比2：如图8，F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线x=m（m＞0，m≠）交抛物线于B1，B2两点，直线B2F交抛物线于点B，连接BB1，则直线BB1恒过定点H（-，0）。

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有关类比迁移的研究表明，类比迁移是学习新技能、学习科学知识和数学知识、进行科学发现和探索、培养创造性的一个重要途径。这是因为人类逐渐认识到，学习并不仅仅是简单地增加新知识，掌握抽象规则，成功的学习经常依靠我们从记忆中提取相关的知识和技能，并以此为出发点去学习新的知识和技能，即类比迁移。因此，有关类比迁移的研究，必将对我们学习新知识和技能，以及教育的改革和发展具有重要的实践意义和指导意义。

六、 基于“批判反思”的探究式学习

教师以“认知冲突”为诱因创造问题情境，揭示学生认识上的矛盾，使之处于一种“心理失衡”状态，促使学生为了达到新的“知识结构平衡”，不得不去寻找探求新的理论和知识点，以弥补这种不稳定的状态，这样一方面可以纠正学生已有的认识错误，另一方面可以对学生的心理智力产生刺激，唤起学生的学习兴趣，同时也是知识建构、思维慎密递进的需要。

案例6：已知函数f（x）=│x2+2x-1│，若a＜b＜-1且f（a）=f（b），求证：-1＜ab+a+b＜1。

学生常用以下解法：函数f（x）=│x2+2x-1│的两个零点为-1±，

并由函数图像可得：-3＜a＜-1-＜b＜-1，且a2+2a-1=b2+2b-1，即a2+b2=2-2（a+b），ab=（a+b）2+（a+b）-1，所以ab+a+b=（a+b）2+2（a+b）-1=（a+b+2）2-3，由-3＜a＜-1-＜b＜-1，得-4-＜a+b＜-2-，从而得-2＜ab+a+b＜2结果显示范围扩大了，为什么？

学生讨论得出：由-3＜a＜-1-＜b＜-1，得-4-＜a+b＜-2-，扩大了a+b的取值范围。原因是什么呢？原来a，b是有联系的，即a向－3靠近时，b并不是向-1-靠近。为此，求a+b的范围还应从a，b的关系入手，那么a，b间存在什么样的联系呢？

由a2+b2=2-2（a+b）变形为（a+1）2+（b+1）2=4，即为圆的方程，从而产生：

解法1：数形结合法，如图，点（a，b）（其中a＜b＜-1）的轨迹是以（－1，－1）为圆心，2为半径的圆的（不含端点），设t=a+b，由线性规划知识可得t∈（-2-2，-4）。

解法2：参数法，由（a+1）2+（b+1）2=4及（a＜b＜-1）可设a+1=2cosθb+1=2sinθ（cosθ＜sinθ＜0），可规定θ∈（π，），故ab+a+b=（a+1）（b+1）-1=2sinθ2cosθ-1=2sin2θ-1，所以得ab+a+b的范围为（－1，1）。

解法3：不等式法，由（a+1）2+（b+1）2=4＞2（a+1）（b+1），其中a＜b＜-1，所以0＜（a+1）（b+1）＜2，而ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，所以得ab+a+b的范围为（－1，1）。

考虑到：由图像可知，当a向－3靠近时，b正好向－1靠近；同样当a向-1-靠近时，b正好也向-1-靠近，因而可得：

解法4：由-3＜a＜-1-＜b＜-1，得，-2＜a-b＜0，于是 a2+b2+2a+2b=2=（a-b）2+2a+2b，ab+a+b=1-（a-b）2

从而得ab+a+b的范围为（－1，1），这样使运算过程最简，思维最明了。

数学中的学习反思不是一般意义上的“回顾”，而是要结合数学学科的基础和特点，反省、思考、探索和解决数学学习中存在的问题。

《考试大纲》要求命题者精心设计好三种题，这三种题是：考查数学主体内容，体现数学素质的试题；反映数形运动变化的试题；研究型、探究型、开放型试题。这警示我们，必须改变学习方式。研究型、探究型、开放型试题只能用研究性学习来应对，很难设想用知识归类、题型训练的方法来解决高考试题改革中不断出现的新问题。要让学生在学习中经历数学探究的过程，这个过程应该包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜想、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。

参考文献

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