中职学生数学解题能力的培养

摘 要 中职数学教学的首要任务是培养学生的解题能力。培养学生解题能力的策略包括：培养学生养成良好的审题习惯，探求可行的解题途径，合理运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想、代归与转化思想等寻找解题方法，注重解题后学生反思能力的培养。

关键词 中等职业学校；数学教学；解题能力

中图分类号 G712 文献标识码 A 文章编号 1008-3219（2012）05-0036-03

中职数学教学的目的是培养学生学习专业及未来生活所必备的数学知识和应用能力，其首要任务是培养学生的解题能力。提高学生解题能力应始终贯穿于中职数学教学的始终。

一、培养良好的审题习惯，提高审题能力

数学题目一定包括已知条件和求解问题两个部分，审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究。审题能力主要是指充分理解题意，把握题目本质的能力，分析、发现隐含条件以及化简、转化已知条件和所求问题的能力。教师在教学中要强调审题的重要性，在讲解例题时应做出认真审题的示范，并要求学生养成认真审题和分析题意的习惯。

首先，通过审题，分析得出题目的隐藏条件。有些题目已知条件不够明显，为此，要根据已知定理、公式或条件认真分析问题，找出隐藏条件，并将其简化。

例题1：已知tanα=3，求的值。

分析：本题的已知条件是tanα=3，而所求的问题不含tanα，即给定的条件对所求解的问题来说不明显，这就需要分析找出隐藏的条件，将所求解的问题经过恰当的变形，转化为含已知条件tanα的表达式。

由于tanα=3，可知cosα≠0（隐藏条件），又由sin2α+cos2α=1（隐藏条件），可得：

原式=

=

==

其次，通过审题，可将已知条件具体化、复杂问题简单化。有些题目已知条件不够具体，而需要解答的问题比较复杂，这时可从分析问题入手，将其简化，并从中找出具体的已知条件。

例题2：已知正数a1，a2，L，an成等差数列，求证：

分析：求证的等式左边比较复杂，且各分式的分母是根式，因此化简可从左边开始，先将各分式分母有理化，即将求证化为：

由于a1-a2=a2-a3=…=an-1-an=-d（设d是公差）

所以上式可化为：

即（）（）=

（n-1）d

亦即an=a1+（n-1）d（通项公式，是具体的已知条件）

于是，可从化简中找出具体的已知条件，并获得本题的证明方法。

二、探求可行的解题途径

探求解题途径就是分析寻找解题方案，若方案可行，则执行方案，解答题目，并掌握解题方法。因此，分析思路、探求途径是解题教学的重点，也是提高学生解题能力的关键。

教师应教会学生灵活应用数学知识、数学思想和数学方法分析解题思路，寻找解题方法。中职数学思想包括数形结合、分类讨论、函数与方程、化归与转化、整体思想等。数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、分析法、同一法、配方法、整体法等基本方法。只有正确理解和牢固掌握数学基本知识、思想方法，并能合理选择和灵活应用，才能较迅速、顺畅地解决中职数学中的一些基本问题。

（一）数形结合思想

利用数形结合思想解题的要领是：对于研究距离、角、面积或体积的问题，可直接从几何图形入手进行求解；对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图像求解（函数的零点，顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用。

（二）分类讨论思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。

需要采用分类讨论的数学思想解题的问题大致可归纳为如下几种：涉及的数学概念是分类讨论的；运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果。

（三）函数方程思想

函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式。函数思想就是把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题；方程思想就是在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出它们。函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来解决，函数与方程之间的辩证关系形成了函数方程思想。

（四）化归与转化思想

化归与转化思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到问题解决的一种数学思想。一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。

化归与转化是中职数学解题中常用的思想方法，采用此方法去探求数学解题途径，就是把复杂繁难的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段，逐渐转化为熟知的简单的数学问题来解决。

（五）整体思想

整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，在对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求问题综合考虑后得出结论。

例题3：求值(tan85°-tan5°)（tan80°-tan10°）（tan75°- tan15°)(tan70°-tan20°)(tan65°

-tan25°)(tan60°-tan30°)(tan55°-tan35°)(tan50°-

tan40°)

分析：原式可化为：

评注：（1）由于本例乘积的每一项涉及的角度不完全是特殊角，所以采取单项计算的方法无法求出结果，只有运用整体思想，综合考虑，才能达到目的。

（2）在数学解题中常常碰到求一个或多个量（常量或变量）的和、差、积、商等组合的问题，但根据已知条件又不能直接求出这些量的值，这时就可尝试应用整体思想。

三、培养反思能力

要求学生解题后养成良好的回顾反思习惯，是中职数学解题教学中非常重要的一环。一是检验求解结果。主要是检查结果是否正确无误，推理是否有理有据，解答是否详尽无漏。二是讨论解法。主要是寻求其他不同解法或改进解法，分析解法特点、关键环节和主要思维过程，寻找规律、一题多解等。有利于学生开拓思维、积累经验、整理方法，有助于增强学生思维的灵活性，提高解题能力。三是解题后的总结、归纳、推广。

例题4：求（x-1x）9的二项展开式中x3中的系数。

如果单纯地讲解这道题，并不能给学生多少教益，讲完之后，仔细琢磨、总结、归纳，这道题的真正价值还在于该题可揭示五种类型题目的相互变通，即解答下列五种类型的题目方法相同，都是利用二项展开式的通项公式，也就是多题一解。

（1）计算题：求（x-1x）9的二项展开式中x3的系数；

（2）证明题：试证明（x-1x）9的二项展开式中不含常数项；

（3）判断题：（x-1x）9的二项展开式中是否含有二次项；

（4）填空题：（x-1x）9的二项展开式中一次项是 ；

（5）选择题：（x-1x）9的二项展开式中x5的系数是 。

解题后的反思、总结、推广，也是培养学生积极思考、发现、创造突破能力的有效途径，如果能让学生养成习惯，必将大大提高学生的解题能力。

参考文献：

[1]郭富喜.数学问题第1898题[J].数学通报，2011（2）:65.

[2]段春华.在中职数学教学中培养学生思维能力的实践[J].职业技术教育，2011（11）:54-56.

Cultivation of Abilities for Solving Mathematical Problems of Secondary Vocational School Students

DUAN Chun-hua, LIU Jiang-mei

(Leiyang Normal School of Hunan Province, Leiyang Hunan 421800, China)

Abstract The foremost task for teaching of mathematics of secondary vocational education is to cultivate students’ abilities of solving problems, and the main strategies include: cultivating students’ good habits for examining problems and explore feasible approaches; reasonably apply the ideas of combination of figures and shapes, classification discussion, function equation, etc. to try to cultivate students’ reflection abilities.

Key words secondary vocational schools; teaching of mathematics; problem solving abilities