质点运动型问题

【问题】如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度每秒的速度运动一周．

（1）点C坐标是(，)，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是(，)；

（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；

（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如图2，若点E与点D同时出发，问：在运动5秒钟内，以点D、A、E为顶点的三角形何时与OCD相似(只考虑以点A、O为对应顶点的情况)？

【命题意图】本题是2010年淮安市的一道中考试题，它涉及平面直角坐标系内点的坐标的求法、一次函数的最值、相似三角形的性质等知识点．着重考查了运动变化、分类讨论的数学思想，以及同学们应用数学知识解决综合问题的能力．

【解题指导】（1）求点C的坐标时，我们可以过该点作x轴的垂线，直接应用相似三角形的性质求出点C的坐标；要求运动了8.5秒时点D的坐标，我们不妨先确定点D所在的位置，再寻找图形中的相似三角形，进而应用相似三角形的性质求出点D的坐标；（2）当点D在不同的边上时，三角形的形状发生了变化，其面积也是不同的，因此，解答时，需要我们应用分类讨论的思想，并根据图形之间的关系求出函数解析式，然后根据求最值的方法解决；（3）根据三角形相似的性质，建立关于时间t的方程进行解答．

【解题过程】（1）C(3，4)、D(9，4)．

（2）当D在OA上运动时，S=■×4×2t=4t(0＜t＜6).

当D在AB上运动时，过点O作OEAB，过点C作CFAB，垂足分别为E和F，过D作DMOA，过B作BNOA，垂足分别为M和N，如图3.

设D点运动的时间为t秒，

所以DA=2t-12，BD=22-2t，

又因为C为OB的中点，

所以CF为BOE的中位线，所以CF=■OE.

又因为■AB・OE=■OA×8，所以OE=■，所以CF=■.

因为BNOA，DMOA，所以ADM∽ABN.

所以■=■，所以DM=■.

又因为SOCD=SOAB-SOAD-SBCD，

所以SOCD=■×12×8-■×12×■-■（22-2t）×■，

即SOCD=-■+■(6≤t＜11)，

所以当t=6时，OCD面积最大，为：SOCD=-■+■=24.

当D在OB上运动时，O、C、D在同一直线上，S=0(11≤t≤16)．

（3）设当运动t秒时，OCD∽ADE，则■=■，即■=■，所以t

=3.5；

设当运动t秒时，OCD∽AED，则■=■，即■=■，

所以2t2+5t-30=0，所以t1=■，t2=■(舍去).

所以，当t为3.5秒或■秒时，两三角形相似．

【追根溯源】本题源于苏科版《数学》九年级上册教材第97页“思考与探索”：

如图4，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿AB向点B 以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问：几秒后PBQ的面积等于8cm2？

【变式拓展】

如图5，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC．

（1）求点B的坐标；

（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位每秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PHOB，垂足为H，设HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）．

【参考答案】

（1）如图，过点B作BNOC，垂足为N．由题意知OB=OC=10，BN=OA=8，ON=■=6，B（6，8）；（2）∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°，BON∽POH，■=■=■.PC=5t，OP=10-5t，OH=6-3t，PH=8-4t，BH=OB-OH=10-(6-3t)=3t+4，S＝■（3t+4）（8-4t）=-6t2+4t+16（0≤t≤2）.

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