三质点构成的孤立系统的线性振动本征频率和解析解

摘 要：从最基本的质点运动规律出发在惯性参考系中建立三质点构成的孤立系统的微分方程，利用矩阵方法求解系统微振动问题并进行分析和讨论，从而得到系统振动的本征频率和解析解。

关键词：三质点；振动本征频率；解析解

中图分类号：0213 文献标识码：A

多质点振动问题是理论力学中的一个基本问题，近年来一直被人们所关注和研究。在处理实际问题中除了采用适当的模型近似以合理简化问题外，仍需利用一些近似计算方法，如微扰法、亚当斯（Adams）多步法等，这些近似方法均有其适用范围和优缺点。给定系统参数和初始条件后，由于某些振动系统的运动方程比较复杂而一般找不到系统振动的特征频率，进而得不到其解析解，系统振动的运动图像也无法进行分析。对于多自由度力学系统的微振动问题，分析得到的方程均为线性微分方程，一般利用解析法可以得到方程的解析解，比较常见的是对单个或两个质点的微振动系统求解。本文从基本的质点运动规律出发以孤立CO2分子为例来讨论三质点构成的孤立系统的微振动问题，在惯性参考性中根据牛顿第二定律建立线性微分方程，利用矩阵方法具体详细地求解系统振动的本征频率和解析解。

考虑由三原子构成的孤立CO2分子的振动模型，可以简化为劲度系数均为k，原长为l0的两弹簧连接的三个质点，如图1所示。

首先，我们来证明质心参考系是惯性参考系。

不考虑外力的情况下，由于原子与原子之间存在相互作用力，故由三个原子构成的该系统是赝孤立的。系统质心定义为：

在惯性参考系Rg中应用牛顿第二定律，我们有：

故为常数，即不随时间变化，则有。

因此质心G在惯性参考系Rg中做匀速直线运动，质心参考系亦为惯性参考系。

下面我们来对每个质点进行受力分析，在中分别建立其偏离平衡位置的位移x1、x2和x3的微分方程。

对于左边的O原子：

C原子：

右边O原子 ：

在中应用牛顿第二定律，即

又其中Mie为每个原子振动的平衡位置。

由于Xie不随时间变化，故有

把以上三个微分方程分别投影方向，得：

（1）

（2）

（3）

这是三个关于x1、x2和x3耦合的微分方程。

接下来我们来求解三质点构成的孤立系统的固有频率。设系统的固有圆频率为ωj，三位移xi（i=1，2，3）对应的一般解应有以下形式：

xi，j=Ai，jcos（ωjt+φi，j）

则

代入三个微分方程，有：

（-moωj2 +k）x1-kx2=0 （1）

-kx1+（-mcωj2 +2k）x2-kx3=0 （2）

-kx2+（-moωj2 +k）x3=0 （3）

该方程组有非零解的条件为当且仅当由其系数构成的下列行列式的值等于0，即：

则（-moωj2 +k）[（-moωj2 +k）（-mcωj2 +2k）-（-k）2]-（-k）[（-k）（-moωj2 +k）]=0

化简后有ωj2 （-moωj2 +k）（momcωj2 - k（2mo+mc））=0

于是得到三个不同的特征频率：ωj2 =0=>ωj=ω1=0

（-moωj2 +k）=0=>ωj=ω2=

momcωj2 -k（2mo+mc）=0=>ωj=ω3=

至此，我们得到了由三个质点构成的孤立系统进行线性微振动时存在的三个本征频率。

那么在每个特征频率下质点随着时间的变化是如何运动的呢？在每个时刻的位移又是怎样的呢？下面我们来分析不同本征频率对应的解的情况。

（a）当ω=ω1=0时，xi，1=aj，1+bi，1t且x1，1=x2，1=x3，1

即a1，1=a2，1=a3，1=a1，b1，1=b2，1=b2，1=b1。由此我们得出在这种情况下三质点运动的相位一致。更确切地说，三质点同时做统一的、共同的运动，即做质心运动。

（b）当ω=ω2时，xi，j=Ai，2cos（ω2t+ φi，2）

从微分方程（1）、（2）和（3）构成的方程组来看，须有x1，2=-x3，2且x2，2=0。

于是A2，2=0，A1，2=A3，2=a2且φ1，2=φ2，φ3，2=φ2+π。我们说两个O原子以ω=ω2的圆频率沿相反的方向振动，而C原子不振动。

当ω=ω3时，xi，j=Ai，3cos（ω3t+φi，3），须有

即A1，3=A2，3=a3，且φ1，3=φ3，3=φ3，φ2，3=φ3+π。

由此可见，在相同的圆频率ω=ω3下，两边质点做同相位的振动，即沿相同的方向运动，而中间的质点的相位则多出一个π，即与他们做相反方向的振动。

于是，系统振动的全解为：

x1=a1+b1t+a2cos（ω2t+φ2）+a3cos（ω3t+φ3）

x3=a1+b1t-a2cos（ω2t+φ2）+ a3cos（ω3t+φ3）

其中ai、bi、φi（i=1，2，3）为待定系数。

若给定初始条件：

xi（0）=xi0（i=1，2，3）et（i=1，2，3）

于是有：

于是我们可以得到系统的解析解：

综上，我们以孤立的CO2分子为例分析得到了三质点构成的孤立系统的振动本征频率，并在给定初始条件的情况下得到了系统的解析解。尽管我们简化了模型，但我们仅从质点运动的基本规律出发，利用矩阵的方法分析得到了系统线性振动的本征频率和解析解，在大学物理的教学中有一定的参考价值。

参考文献

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