探讨与“质点运动”有关的概率题型

概率考题一般将问题置于不同的情境和背景中，并以等可能事件，相互独立事件或独立重复试验为载体，渗透运用互斥，对立事件的概率公式.因此，我们要善于去伪存真，去表象抓本质.与摸球，抛硬币，掷骰子，打比赛（五局三胜），射击，投篮，摸奖等有关的背景我们都很熟悉，但是，我们经常会遇到新的情境和背景，许多同学会感到束手无策，比如，质点的运动，我们不妨通过下面几个例题来探讨一下与质点运动有关的概率问题.

一、质点在“直线”上的运动

例1质点M位于数轴x=0处，质点N位于x=2处，质点M每隔1秒向左或向右移动2个单位，质点M向左移动的概率为25，向右移动的概率为35，质点N每隔1秒向左或向右移动一个单位，质点N向左移动的概率为13，向右移动的概率为23.

（Ⅰ）求3秒末，质点M在x=2处的概率.

（Ⅱ）求2秒末，质点没M，N同时在x=0的概率.

思路分析：依据题意，利用数轴，分析M、N点的运动特征.

（Ⅱ）记事件“2 s末，质点M，N同时在x=0处”为事件B，事件“2 s末，质点M在x=0处”为事件C；事件“2 s末，质点N在x=0处”为事件D.

二、质点在“平面图形”上的运动.

例2在等边三角形的三个顶点上，分别放有三只小蚂蚁，每只小蚂蚁均以相同的速度沿着三角形的边各自爬行，试问任何两只蚂蚁在爬行中不相撞的概率.

思路分析：本题中的三只蚂蚁可以看作三个质点.每个顶点处的蚂蚁均有两种爬行方向，而且它们的爬行速度相同，所以要使每两只蚂蚁不相撞，则三只蚂蚁都应以顺时针或逆时针两种方向爬行.因此，本题就可以看作等可能事件概型.

任何两只蚂蚁不相撞的概率P=223=14.

解题回顾：此题颇有新意，乍一看好象无从下手，但仔细想想，本题与“同时抛三枚硬币，出现同一面向上的概率”这个问题异曲同工.考查的是等可能事件的概率.

变题1：在正方形的四个顶点上，分别放有四只小蚂蚁，每只小蚂蚁均以相同的速度沿着正方形的边各自爬行，试问任何两只蚂蚁在爬行中不相撞的概率.

变题2：在正六边形的六个顶点上，分别放有六只蚂蚁，每只小蚂蚁均以相同的速度沿着正六边形的边各自爬行，试问任何两只蚂蚁在爬行中不相撞的概率.

三、质点在“几何体”上的运动