在认知中质点的圆周运动

中学物理教学中要培养学生的创造力，首先必须突破阻碍创造力的因素.同中求异，异中求同.学习思维实际是一类比的学习思维方式，类比是根据两类对象部分属性相似或相同而推出另一些属性也相似或相同，并由一个对象迁移到另一种对象的逻辑推理思维方式.运用这种思维逻辑，能充分发挥学生的想象程度，飞跃再认识，从而创造性学习.周周运动是中学物理比较难理解的一节内容，有必要深化开展思维逻辑努力认知.

1对向心加速度的再认识

案例1匀速圆周运动经时间Δt以后速度变化的矢量图如图1，不难看出匀速圆周运动的加速度：a=|Δ|Δt=v•ΔθΔt=ωv,这是原始的向心加速度的表示式，有着明显的物理意义，但必须注意在R确定以后，v和ω并不相互独立，如果R并不确定，那么v和ω是相互独立的，R由vω确定.

从图1的矢量关系中不难看到当质点以ω的角速度绕圆心旋转时，质点的线速度也同时以ω的角速度在旋转，所以向心加速度的瞬时值其方向必须指向圆心，大小必定趋向于vω. ω反映线速度方向变化的快慢，而向心加速a在数值上是线速度v 对ω的加权.加权的原理是：如图1对具有一定ω的物体而言，v越大引起的Δv就大，所以向心加速度也越大.

2角速度意义的二重性

案例2如图2，质点由圆周上M点出发，沿切线作匀速直线运动，经时间Δt以后质点的矢径扫过α角，但线速度v的方向并不旋转.

如图2质点沿圆周从A运动到A′，矢径扫过θ角；同时线速度由v1变为v2,其方向也转过了θ角.因而，A点绕圆心O旋转的角速度ω的意义有了双重性，ω为常数，即表示了质点角位移变化的均匀性也表示了线速度方向改变的均匀性.

3碍障讲评

案例3如图3，宇宙飞船绕地球中心作圆周运动，飞船质量为m，轨道半径为2R(R是地球半径)，现将飞船转移到另一半径为4R的新轨道上，求：(1)转移所需的最小能量.(2)如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，图中ACB所示，则飞船在两条轨道交接处A和B的速度变化ΔvA、ΔvB各是多少？

提示取物体在无穷远处的势能为零时，引力势能的一般表达式为Ep=-(GMm/r),G是万有引力常量，M是地球质量，r是物体m到地心的距离.事实上，飞船在某一轨道上绕地球作匀速圆周运动时，必须与一确定的速度相对应，要改变飞船的轨道，必须改变它的速度.如果飞船在某一圆轨道上的某点突然增大速度，它将以该点为近地点作椭圆运动，如图4.如果飞船在某一圆轨道上的某点突然减速，它将以该点为远地点作椭圆运动，如图5.可见，题设障碍――“转移”的含义是：当飞船在2R轨道上运行经A点时，设法(如碰撞)突然增大其速度，从v1增至v1′,它将以A点为近地点沿椭圆轨道运动，到达远地点B时，又突然增大其速度，从v2′增大到v2,则飞船将以v2有4R上做匀速圆周运动.从而达到题中的转移目的.

解(1)飞船在2R轨道上运行时，其动能力Ek1，根据万有引力定律和向心力公式有

GMm(2R)2=mv212R,

Ek1=12mv21=GMm4R(1)

相应的引力势能为Ep1=-GMm2R,

机械能为E1=Ek1+Ep1=-GMm4R,

同理，可得飞船在4R轨道上运行时的动能、引力势能和机械能分别为

Ek2=12mv22=GMm8R(2)

Ep2=-GMm4R,

E2=-GMm8R.

由于E2>E1，其增量ΔE=E2-E1=GMm8R,

即为飞船转移所需的最小能量.

(2)由(1)式知，飞船在半径为2R的轨道上运行的速度为v1=GM2R.又由(2)式知，飞船在半径为4R的新轨道上运行的速度为v2=GM4R.

设飞船在半椭圆双切轨道上的A、B两点的速度分别为v1′和v2′,根据开普勒定律得

v1′•2R=v2′•4R,

即v1′=2v2′(3)

对飞船在椭圆轨道上的A、B两点由机械能守恒定律得

12mv′21-GMm2R=12mv′22-GMm4R(4)

联立(3)、(4)两式解得

v1′=2GM3R,

v2′=122GM3R.

故飞船在两轨道交接处A和B的速度变化分别为

ΔvA=v1′-v1=(43-1)GM2R,

ΔvB=v2-v2′=(1-23)GM4R.

4圆周轨道的严密性

圆周运动是一种特殊的曲线运动，主要表现在其轨道曲率半径的稳定性(R=常数)和曲率中心的不变性.1/R=Δθ/Δs=ω/v是速度方向对位移的变化率，表示了曲线运动方向在空间上的变化情况.圆周运动半径R为常数显示了线速度方向的改变在空间上的均匀性.理解这一点是重要的，就圆周运动而论，质点通过任意相等的弧长，其线速度方向的改变都是相等的，这是圆周运动区别于其他曲线运动最根本的运动学特征，正是这种特征决定了圆周运动的轨迹的封闭性，即弯曲程度的增匀性和曲率中心的不变性.如果ω也是常数，这就显示了匀速圆周运动线速度方向的改变在空间和时间上都是均匀的.

v=Δs/Δt=ωR表示了质点位移变化对时间的变化率，反映了圆周运动的时空联系.学生常常忽略比值Δθ/Δs与比值ω/v的相等关系，而实际上正是Δθ/Δs体现了线速度方向随空间位置的变化情况，从而决定了轨迹的弯曲程.

5径向力的作用

作圆周运动的物体其实际受到的径向力(合力沿半径方向的分量)应等于作圆周运动的向心力，即Fm=mωv.那么径向力在物体的圆周运动中究竟起到什么作用？根据上面的向心力公式，显然径向力不能改变物体的质量，也不能改变物体线速度的大小，剩下的它似乎只能对物体的运行角速度ω的大小施加影响.实际上径向力的作用在于改变物体的运行方向，并使线速度矢量以一定的角速度ω旋转，使物体形成大小为ω的方向指向圆心的线速度方向的变化率，从而使物体的运行轨迹发生弯曲.而ω的大小直接影响轨迹的弯曲程度.ω越大，曲线越弯.

必须指出径向力的大小也有着决定运行半径作用，Fm越大，引起R越小.这个道理是很显而易见的，月亮如果没有地球的引力作用，线速度的方向就不会旋转.如果地球对月亮的引力略微增大，那么月亮的运行角速度ω将变大，轨道半径R将变小.