例说中学数学极限问题解题常用十法

中学数学解决极限问题的基本思路是先通过恒等变形化归为极限的基本问题，然后用极限四则运算法则进行处理，其恒等变形是解决极限问题的最关键一步.本文将结合实例介绍解决极限问题常用恒等变形的十种方法.

一、利用约分零因子法

【例1】 求极限limx2（4x2-4-1x-2 ）

解析：分母有零因式的，首先分子、分母约去零因子，化归为连续函数的极限问题去求解.

limx2（4x2-4-1x-2 ）=limx2（2-xx2-4 ）=limx2-1x+2 =-14 .

二、 利用分子、分母同除以相同因子法

【例2】 求极限limx∞x3-x23x3+1 .

解析：∞∞ 型且分子、分母都是以多项式给出的极限，可以通过分子、分母同除以相同因子再求极限.

limx∞x3-x23x3+1=limx∞1-1x 3+1x3 =13 .

三、 利用分子或分母有理化法

【例3】 求极限limxπ（x-π）cosxx-π .

解析：求含根式的极限，其主要方法为分子或分母有理化化去无理式，再求极限.

limxπ（x-π）cosxx-π =limxπ（x+π）cosx=（π+π）cosπ=-2π.

四、利用数列公式求和法

【例4】 求极限limx∞ （1+13+132+…+13n ）.

解析：对于数列的和、差或积求极限，若项数有限时可以直接利用极限的四则运算求极限，若项数为无限项时，应先把无限项化成有限项，如先求出前n项的和（差）或积再求极限.

limx∞（1+13 +132 +…+13n ）=limx∞[1-（13 ）n+1

1-13 ]=32 .

五、利用组合公式法

【例5】 求极限limx∞C02n+C22n+C42n+…+C2n2n1-4n.

解析： C02n+C22n+C42n+…+C2n2n=12 ×4n，

limx∞C02n+C22n+C42n+…+C2n2n1-4n =limx∞12 ×4n

1-4n

=limx∞12

（14 ）n-1 =-12 .

六、利用函数连续性法

【例6】 求极限limx0x3-sinx+lncosxcosx+1 .

解析：初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数）在其定义域内是连续的，即在定义域内每一点均连续.

如果函数f（x）、g（x）在某一点x=x0处连续，那么函数f（x）±g（x）、f（x）·g（x）、f（x）g（x）（g（x）≠0） 在点x=x0处连续，则在点x0处的极限等于x0处的函数值.

因为x=0是函数f（x）=x3-sinx+lncosxcosx+1 的一个连续点，所以

limx0x3-sinx+lncosxcosx+1 =03-sin0+lncos0cos0+1

=0.

七、利用配凑法

【例7】 已知limx0xf（3x）=2 ，求极限 limx0f（2x）x.

解析：把问题结合已知条件，从整体考虑，通过恰当的拼凑、配凑，使问题的解决能用已知条件，从而达到比较容易解决的目的.

因为limx0xf（3x）=2 ，所以limx03xf（3x）=6 ，

则limx02xf（2x）=6 ，即limx0f（2x）2x=16 ，

所以limx0f（2x）x=13.

八、利用换元法

【例8】 求极限limx0101+x-1x.

解析：因为当x0时，直接从101+x-1x 的分子、分母中约去x比较困难，而101+x-1x 中当x0时也趋近于0，因而可以考虑整体换元法，即设y=101+x，

则x=y10-1，所以当x0时，等价于y1.

解析：limx0101+x-1x=limy1y-1y10-1 =

limy11y9+y8+…+y+1 =110.

九、利用讨论法

【例9】 求极限 limn∞ an1+an （a为常数且a>0）.

解析：当数列中含有不确定的参数时，需要对参数进行分类讨论求解，其依据是：

limn∞ qn=0（|q|1或q=-1）；1（q=1）.

（1）当0

limn∞ anlimn∞（1+an） =01+0=0；

（2）当a>1时，limn∞ an1+an =limn∞ 11an+1 =1；

（3）当a=1时，limn∞ an1+an =limn∞ 11+1 =12.

十、利用特殊观察法

【例10】 求极限（1） limn∞ enn！= ；

（2）limx0（xsin1x ）= .

解析：（1）利用n∞时，n！变化比en变多得多，即n！的变化速率比en的变化速率快得多，故enn！ 相当于1∞=0 ，所以 limn∞ enn！=0.（2）利用三角函数性质-1≤sin1x ≤1，得-|x|≤xsin1x≤|x| ，又因为limx0（-|x|）=limx0|x|=0，所以limx0（xsin1x ）=0.

求极限问题时恒等变形方法灵活多样，要对题目进行全面分析，合理、恰当地选择方法，整体思考，往往可以化繁为简，在解题中起到事半功倍的效果.