时间：2022-10-08 02:54:38
问题:已知ABC,当ABC满足什么条件时,可以用过顶点的一条直线将它分割成两个等腰三角形?如何分?
一、探索结论
可以按三角形三个角的关系,分类讨论如下:
(一)当ABC是等边三角形时,显然不能分为两个等腰三角形。
(二)当ABC是顶角小于底角的等腰三角形时,不妨设∠A
此时,只能从∠B或∠C中分出一个角,使之等于∠A,不妨设∠A=∠ABD,这样ABD是等腰三角形。要使BCD也是等腰三角形,只可能是∠C=∠BDC或∠CBD=∠BDC。
1.若∠C=∠BDC,设∠A=x°,则∠C=∠BDC=2x°,∠DBC=x°,由三角形的内角和,得x+2x+2x=180,x=36,ABC的三个内角分别是∠A=36°,∠B=∠C=72°。
2.若∠CBD=∠BDC,设∠A=x°,则∠CBD=∠BDC=2x°,∠C=3x°,由三角形的内角和,得x+3x+3x=180,x=≈25.71,ABC的三个内角分别是∠A=(25)°≈25.71°,∠B=∠C=(77)°≈77.14°。
(三)当ABC是顶角大于底角的等腰三角形时,不妨设∠A>∠B=∠C,如图(2)。
此时,只能从∠A中分出一个角,使之等于∠B或∠C,不妨设∠B=∠BAD,这样,ABD是等腰三角形。要使ADC也是等腰三角形,只可能∠C=∠DAC,或∠CDA=∠DAC。
1.若∠C=∠DAC,设∠B=x°,则∠C=∠BAD=∠DAC=x°,∠ADC=2x°,由三角形的内角和,得x+x+2x=180,x=45,ABC的三个内角分别是∠A=90°,∠B=∠C=45°。
2.若∠CDA=∠DAC,设∠B=x°,则∠C=∠BAD=x°,∠CDA=∠DAC=2x°,由三角形的内角和,得x+2x+2x=180,x=36,ABC的三个内角分别是∠A=108°,∠B=∠C=36°。
(四)当ABC是不等边三角形时,不妨设∠A>∠B>∠C。
此时,只能从∠B中分出一个角,使之等于∠C,或从∠A中分出一个角,使之等于∠B或∠C。
1.从∠B中分出∠DBC=∠C,这样,BCD是等腰三角形,如图(3)。要使ABD也是等腰三角形,只可能∠A=∠ADB,或∠ABD=∠ADB。
①若∠A=∠ADB,设∠C=x°,则∠A=∠ADB=2x°,即只需最大角是最小角的2倍。
②若∠ABD=∠ADB,设∠C=x°,则∠ABD=∠ADB=2x°,∠ABC=3x°,即只需次大角是最小角的3倍。
2.从∠A中分出∠BAD=∠B,这样,ABD是等腰三角形,如图(4)。要使ADC也是等腰三角形,只可能∠C=∠CAD,或∠CAD=∠CDA。
①若∠C=∠CAD,设∠C=x°,∠B=y°,则∠BAD=x°,∠CAD=y°,由三角形的内角和,得x+x+y+y=180,x+y=90,即只需ABC是直角三角形。
②若∠CAD=∠CDA,设∠B=x°,则∠BAD=∠B=x°,∠CAD=∠CDA=2x°,∠BAC=3x°,即只需最大角是次大角的3倍。
3.从∠A中分出∠DAC=∠C,这样,ADC是等腰三角形,如图(5)。要使ABD也是等腰三角形,有三种可能:
①若∠B=∠ADB,设∠C=x°,则∠B=∠ADB=2x°,即只需次大角是最小角的2倍。
②若∠B=∠BAD,设∠C=x°,∠B=y°,则∠DAC=x°,∠BAD=y°,由三角形的内角和,得x+x+y+y=180,x+y=90,即只需ABC是直角三角形。
③若∠BAD=∠BDA,设∠C=x°,则∠DAC=x°,∠BAD=∠BDA=2x°,∠BAC=3x°,即只需最大角是最小角的3倍。
综上所述,能分割成两个等腰三角形的情形如下表:
二、应用举例
【问题1】(2008年浙江宁波中考题)
(1)如图1,ABC中,∠C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹)。
(2)已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示。请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数。
解:(1)只需作斜边AB上的中线即可,图略。
(2)在图2中,∠B=72°,∠B=3∠A,所以从∠B中分出一个24°角(与∠A相等),并且以这个角和∠A为两个内角构成一个等腰三角形即可。分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°。
在图3中,∠A=24°,不能分割成两个等腰三角形。
【问题2】(2007年山西太原中考题)
数学课上,同学们探究下面命题的正确性:顶角为的等腰三角形具有一种特性,即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形。为此,请你解答问题(1)。
(1)已知:如图(1),在ABC中,AB=AC,∠A=36°,直线BD平分∠ABC交AC于点D。
求证:ABD与DBC都是等腰三角形。
(2)在证明了该命题后,小颖发现:下列两个等腰三角形如图(2)、(3)也具有这种特性。请你在图(2)、图(3)中分别画出一条直线,把它们分成两个小等腰三角形,并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数。
(3)接着,小颖又发现:直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性,如:直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形。请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图,并在图中标出三角形各内角的度数。(说明:要求画出的两个三角形不相似,而且既不是等腰三角形也不是直角三角形。)
(2)如下图:
【问题3】(2007年江苏无锡中考题)
(1)已知ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形。(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来。只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数。)
(2)已知ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求∠ABC与∠C之间的关系。
解:(1)如图,有2种不同的分割方法:①作BC边上的中线;②在∠B中分出一个22.5°的角。
(2)设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于D。在DBC中,
①若∠C是顶角,如图1,则∠ADB>90°,
∠CBD=∠CDB=(180°-x)=90°-x,∠A=180°-x-y。
此时只能有∠A=∠ABD,即180°-x-y=y-(90°-x),
3x+4y=540°,即∠ABC=135-∠C。
②若∠C是底角,则有两种情况。
第一种情况:如图2,当DB=DC时,则∠DBC=x,ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y-x。
由AB=AD,得2x=y-x,此时有y=3x,即∠ABC=3∠C。
由AB=BD,得180°-x-y=2x,此时3x+y=180°,即∠ABC=180°-3∠C。
由AB=BD,得180°-x-y=y-x,此时y=90°,即∠ABC=90°,∠C为小于45°的任意锐角。第二种情况,如图3,当BD=BC时,∠BDC=x,∠ADB=180°-x>90°,此时只能有AD=BD,从而∠A=∠ABD=∠C
当∠C是底角时,BD=BC不成立。
【问题4】(2002年广东中考题)
在ABC中,AB=AC,若过其中一个顶点的一条直线,将ABC分成两个等腰三角形,求ABC各内角的度数(只要求出三个不同的解)。
解:(1)如图(1),若ABC中底角是顶角的2倍,设∠A=x°,∠B=∠C=2x°,则x+2x+2x=180,x=36°,三内角分别为36°,72°,72°。
(2)如图(2),若ABC中顶角是底角的2倍,设∠B=∠C=x°,∠A=2x°则x+x+2x=180,x=45°,三内角分别为90°,45°,45°。
(3)如图(3),若ABC中顶角是底角的3倍,设∠B=∠C=x°,∠A=3x°,则x+x+3x=180,x=36°,三内角分别为108°,36°,36°。
*(4)如图(4),若ABC中底角是顶角的3倍,设∠A=x°,∠B=∠C=3x°,则x+3x+3x=180,x=(25)°≈25.71°,三内角分别为(25)°,(77)°,(77)°。
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