思维,数学的本源

摘 要：人们在日常生活中所需要的数学知识，相对来说是不多的，但是数学教学中所重视的探究精神、思维训练却是不可缺少的。日本学者米山国藏认为：“不管人们从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，却随时的发生作用，使人们收益匪浅。”因此，培养学生数学的思维正是教师工作的重点。

关键词：数学思维；主体；过程；宏观；问题

一、困惑――我的教学重视发展学生的思维了吗？

1、轻“主体”、重“主导”，禁锢了学生的思维

失败场景一：

“错题”如下：将下列各式分解因式m4-2（m2-12）

一个学生分析错误原因如下：老师，我按照你教我们的四句口诀――先提公因式，两项考虑平方差、三项考虑完全平方、分解到不能分解为止来分解因式，前面三小题我都解决啦，可这第四小题既不能提公因式，也不能用平方差，怎么分解啊？肯定出错啦。

“学生为主体，教师为主导”一句耳熟能详的话，在真正落实时，却变成了“教师为主导，学生为载体”。通过上述学生的分析，再结合当初讲解因式分解的方法，发现我在讲解分解因式时按照自己精心设计问题，一步一步的引领学生走进教师的“思维圈套”，得出因式分解四口诀。让学生成为教师解题思路的载体，完全忽视了学生才是“思维的主体”，导致了学生仅仅是教师“思维的奴隶”，而不是一个具有“自主思维的自由者”。所以学生仅仅是凭借教师传授的经验公式来处理分解因式，对“因式分解”没有本质的理解，在遇到具体问题时也就不可能有自我的分析、探究。

2、轻“过程”、重“结果”，掩盖了学生的思维

失败场景二：

第二学期数学七年级期中考试第25题的正确率仅为20%。

原题如下：如图：已知∠DAC，MN∥AC，点B在直线MN上，

以B为顶点，另一边在直线MN上，画出∠EBM=∠DAC，

问EB与AD一定平行吗？请说明理由。

大多数同学对此题的失分原因分析如下：平时解题时结论都是平行，做多了成习惯了。考试时看到题目第一个反应就是平行，画出平行线后又发现∠EBM=∠DAC，就按照平行的思路解决了，压根就没有考虑到不平行的可能性。

数学教学应该强调学生的思维活动过程，但在实际教学时却往往会演变成关注数学知识的教学。如：“平行”这一块知识在教学时需要强调“操作――猜想――说理”的思维过程。但是教师在教学中往往片面的强调这一知识点的应用（即为什么平行），忽视了知识点的发生过程（即是否平行），这样的教学方式完全掩盖了学生的思维过程，那么学生在处理问题是也必定会习惯性的先给自己一个结果（即平行），而忽视了结论的发生过程。

3、轻“宏观”，重“微观”，造成了学生思维结构的缺陷

失败场景三：

第二学期数学七年级期末考试第27题：

原题如下：已知，在ABC和DEF中，AB=DE，AM、BN分别是ABC与DEF边上的高，AM=DN，试探究∠ABC与∠DEF之间的关系，并说明理由。

考试结束后，很多学生都很兴奋的来找老师探讨这一题。对话如下：

学生：老师，最后一题是不是要分情况讨论啊？

老师：对啊，你们怎么分的。

学生：我们按照高的位置随着三角形的形状的变化而变化，我们就分成锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种可能来探究的。

老师：你们都想到了？很好（老师很兴奋），这次都开窍啦，都知道分类啦，∠ABC与

∠DEF的关系就应该能探究出来啦，不就是相等和互补两种关系嘛。

学生：互补？（很吃惊）还有互补？我们画的三种图结果都是相等的啊？

学生的解题思路：

三种情况都利用“HL”判定ABM≌DEM得到∠ABC=∠DEF。

老师看到同学的答案后很是疑惑：ABC≌DEF吗？你们从哪里得出的结论啊？

学生：我们看到“在ABC和DEF中”，就把它们归类为“全等形”了。探究时很自然的就做出两个全等三角形。

老师：……

数学教学是一个稳定的、有序的结构，它要能够为学生将新知识融入到原有的认知体系创设条件，因此数学教学就需要在学生原有的认知体系上进行“宏观”设计。

二、解惑――为了培养学生的思维能力，我该注意什么？

教师在教学过程中应当如何贯彻教学大纲的思想，更加有效地培养学生的数学思维能力呢？针对上述的三次失败，我觉得不妨从下面的三个方面进行改进：

1、教学中要强调学生是“思维主体”

八年级数学课本在讲解《等腰三角形的轴对称性》时，有这样一个操作活动设计：将等腰三角形沿顶角的角平分线对折再展开，你发现了什么？一位数学老师教学时加以了一点改动：请同学们观察等腰三角形，结合你们掌握的知识来探究新图形的特征，提出合理的猜想。然后引领他们去分析验证，最后再通过折纸来加以验证。

数学教学的一个主要任务是要帮助学生构建数学的“知识和技能”，如何引领学生去掌握已有的知识和技能呢？现在“满堂灌”的手段已基本被教师所摒弃了，结合新课标要求，教师都希望能够以学生为主体，引导学生通过自我的探究去发现数学知识和技能。但是引导的方式是有区别的，一种引导过程中学生是“被动”的，如上述课本中的操作活动直接引导学生对折等腰三角形来发现等腰三角形的性质。学生在这一个活动中没有主动的思维，完全是被动的去发现性质，这种引导其实也违背的数学教学的原则。只有引导学生去主动的发现，才能真正的体现学生的主体地位。如上述改动后的设计意图是“观察图形――想象――提出猜想――分析证明――折纸验证”，整个流程中教师引领学生去观察、体验、探究，鼓励学生独立思维，正真突出了学生是“思维的主体”。

数学知识和技能虽然对学生而言都是新的，但实际上都是前人通过某个活动或解决某个问题发现的。所以我们教师在将这些知识和技能给学生的过程中，只需要能够找出本质的要素，为学生还原一个知识和技能发生的原型，通过设计问题或活动，让学生站在前人的角度去经历一个“为什么想、怎么想、想出了什么”的一个思维历程。只有通过这样的方式让学生掌握知识和技能，才能有效的培养学生的思维能力。

2、教学中要注意“过程”和“结果”的平衡

七年级数学有一个知识点：“我们规定：a°=1 （a≠0）； a-n=1an （a≠0）”

一位数学老师在讲解这一个知识点时，出现了这样一个情景：学生们通过有理数除法法则计算出102÷105=1103，利用同底数幂的除法性质得出：102÷105=10-3。比较两种结果，就有学生得出结论：a-n=1an （a≠0）。此时老师没有立刻总结这个结论，而是问了一问题：怎么解释2-3？有的同学就立刻又刚发现的结论来解释2-3=123；这时有一个同学站出来说：2-3就是-3个2相乘，立刻有同学站出来反对：“-3个2”不存在，同学间分成了几个阵营，争论不休，谁也说服不了谁。此时教师因势利导的加以小结：同学的解释都有道理，2-3按照幂的定义是不存在的，但在幂运算中又会出现这样的结果，所以我们数学上就用了“规定”一次来加以强调：我们规定a-n=1an （a≠0）。

设想一下，上述的知识点如果换一个“结果”型的教师来处理，会是怎样一个场面：他肯定是在有同学发现了a-n=1an这个结论后，立刻迫不急待的加以小结，然后围绕这一知识点展开一系列的习题加以巩固。那么我们也就不可能看到随后学生间思维大碰撞的精彩场面。用一句话来概括“过程比结果更为精彩。”

虽然课改已经有很多年了，但是教师始终无法脱离“应试”这个大背景，所以在教学中尽管也会为了知识与技能的引入而设计一个活动或选择一个问题，但是教学重心往往会不由自主的放在知识和技能的应用上。其实适当的注重“过程”可以更好的为“结果”来服务。因为让学生体验数学发现和创造的历程，给学生一个曲折而又韵味无穷的思维过程，可以发展和提高学生的观察、想象和思维能力，能够帮助学生进入到知识点的本源，加深对知识和技能的理解和记忆。与之相反，如果过度压缩知识的发生过程，掩盖了学生的思维过程，会使学生缺乏学数学的动力和兴趣。因此我们在教学中要追求“过程”与“结果”的平衡，给学生充分展示思维交流的一个平台，唤起学生更深层次的思维，从而更好的为“结果”服务。

3、教学中要注意“宏观”和“微观”的统一

《平方差公式》的教学设计：

宏观设计：在本节内容中要渗透“数形结合”的思想。

情景设计：将下图沿虚线剪开，你还能拼出什么图形？

计算两个图形的面积，你发现了什么？

微观设计：在得出平法差公式后，让学生做如下填空下了乘法能利用平方差公式的有，如果不能，请说明理由

①（x-1）（x+1） ②（x+2）（-x-2） ③（-x-2）（-x+2）

④（-x+2）（x-2） ⑤（-x+2）（x+2） ⑥（x+y+2）（x+y-2）

数学思维的训练不是一蹴而就的，它是一项长期性、复杂性的系统工程，需要针对学生的认知水平与教学思维的发展规律，制定出切实可行的计划来保证数学思维的训练落到实处。

尽管数学思维的形成需要经历一个长期的发展过程，但它的基础（即数学概念、公式、法则……）却是每节课的主要教学任务。因此，教师必须通过一系列“微观”的教学措施：使学生真正参与概念的建立、定理及其证明的探索发现、习题求解方案的制订、执行及对解答的检验、评价、知识的归纳整理过程，使学生真正成为发现、创造、摄取知识的主人。只有这样才能为学生的数学思维的持续发展搭建一个稳固的平台。

总之，只有时时注重“微观”与“宏观”的统一，为数学思维的发展打下扎实的基础的同时又为数学思维的发展设计一个可行的计划，才能真正的促使思维持续而又稳定的发展。

三、落实――我如何在教学中培养学生的思维

1、设计出好的“问题“

数学思维，是以问题为载体，数学思维的一切问题都是围绕着它来展开的，可以说：没有问题，就没有思维。所以，教学设计的根本就是要设计出一系列好的问题。通过发现问题和解决问题的过程可以激励学生思维，为学生的思维活动提供一个好的切入口，为学生的思维定一个好的发展方向，最终达到培养学生思维的目的。

2、促使学生暴露他们的思维

发现问题、解决问题的过程就是数学思维的过程。在此过程中，教师不能满足于“自编自演”，而应该把暴露数学思维过程当作数学教学的指导原则。教师在教学过程中不仅要善于“暴露”自己的思维过程，还要能促使学生“暴露”他们自己的数学思维活动过程中的每一个重要环节和层次。只要这样做，就必然会突出其中蕴含的数学基本思想和方法，这才是提高数学思维的根本。

3、鼓励学生学会反思

数学思维是一种反省式思维，所以反思是强化数学思维的核心和动力。用适当的问题来引领学生对思维过程进行及时的反思，可以把学生潜意识的活动纳入到有意思的活动轨迹中，可以帮助学生达到“悟”的境界，并引领学生真正的走入到数学化的过程中，最终抓住数学思维的内在实质。

马明老师曾说道数学教学有四个层次，依次为：解题术、解题方法、数学思想、数学观念。他还呼吁：”在数学教学中追求的不能只是低层次，而应该是所有层次。”因此，最为一个普通的数学教师，我们只有通过自己创造性的思维活动，根据学生特点为他们量身设计一个切实可行的发展计划，再帮助学生提出一个个好的问题，引领学生在解决问题中暴露思维的过程，指导学生进行思维调控，就可以为学生推开一扇门，让学生真正涉足到数学的本源――思维。