对中点四边形中一些问题的探讨

顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形在人教版数学八年级下册四边形一章中出现了很多次，中考试题中也经常出现，学生不易掌握。但是，无论原四边形的形状怎样，中点四边形的形状有一定的共性和特性。只要掌握了这些共性和特性，中点四边形的问题就不难了。

一、无论原四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行四边形

如图，一任意四边形ABCD， E、 F、 G、 H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则中点四边形EFGH是平行四边形

证明：连接BD

在ABD中，E，H分别是AB和AD中点 ，EH是ABD的中位线

EH∥BD，EH=■BD

同理FG∥BD，FG=■BD

EH∥FG，EH=FG

四边形EFGH是平行四边形

任意四边形的中点四边形是平行四边形。

二、中点四边形的面积为原四边形面积的一半

如图，在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点分别是E，F，G，H 则四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的一半。

证明：连接四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O

接EO，FO，GO，HO，在ABD中，EH是中位线，与AC交于点P

EH//BD，■=■=1，即AP=PO

在AEO中 ，SEPO=■SAEO

同理：SHPO=■SAHO ……

四边形EFGH的八个小三角形都是对应三角形面积的二分之一

S四边形EFGH=■S四边形ABCD

即：顺次连接任意四边形各边中点所成中点四边形的面积是原四边形面积的二分之一 。

三、中点四边形的周长等于原四边形两条对角线的和

如上题图，EF=HG=■AC， HE=GF=■BD，

所以 EF+FG+GH+HE = AC+BD

四、特殊情况

（1）如果四边形对角线互相垂直，则中点四边形为矩形。

简要证明：EF∥AC，HE∥BD，而ACBD，从而EFHE，可得出∠HEF=90°即四边形EFGH是矩形。（是平行四边形前面已证）

如：菱形的中点四边形是矩形。

（2011年广东佛山）依次连接菱形的各边中点得到的四边形是（ A ）

A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、梯形

（2）如果四边形对角线相等，则中点四边形为菱形。

简要证明：EF∥AC，HE∥BD，EF=■AC，HE=■BD，

而AC = BD，所以EF=HE，即四边形EFGH是菱形。（是平行四边形前面已证）

如：矩形的中点四边形是菱形。

（2011年湖北襄阳）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ D ）

A、菱形 B、对角线互相垂直的四边形

C、矩形 D、对角线相等的四边形

（3）如果四边形对角线互相垂直且相等，则中点四边形为正方形。

简要证明：EF∥AC，HE∥BD，而ACBD，从而EFHE，可得出∠HEF=90°即四边形EFGH是矩形，又EF=■AC，HE=■BD，而AC = BD，所以EF=HE，即四边形EFGH又是菱形，所以四边形EFGH是正方形。（是平行四边形前面已证）

如：正方形的中点四边形是正方形。

（2013 珠海）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是

中点四边形的问题都要用到三角形的中位线定理。连接原四边形的两条对角线，利用中位线可以得到中点四边形边的位置关系和大小关系，由这些关系可以判断中点四边形的形状、并求其面积和周长。四边形的中点四边形的形状是由原四边形的对角线决定的。而对角线又是由三角形中位线联系起来的。包含了位置关系和大小关系的三角形的中位线定理在这里起到了非常重要的作用。因此，我们在解决中点四边形问题时一定要想想能否用三角形的中位线。