初中数学函数概念形成的心理分析

众所周知，数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式，是判断与推理的基础. 正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑思维能力的前提，是学生学好数学的关键． 初中数学中的函数概念是一个核心概念，是常量数学到变量数学转折的关键，是变量数学的起点. 同时函数概念是初中数学中最难形成的概念之一，因此如何帮助学生理解掌握函数概念一直是初中数学教师探索的问题. 人教版初中数学教材利用概念形成方式引入函数概念，所谓概念形成［1］：是指人们对同类事物中若干不同例子进行感知、分析、比较和抽象，以归纳方式概括出这类事物的本质属性从而获得概念的方式． 在形成过程中，学生要获得变量及变量之间对应的本质属性，要舍弃背景及变量的一些非本质属性，从而形成函数概念. 下面从心理学角度对函数概念的形成进行分析．

一、 初中生概念形成水平分析

心理学研究表明［2］：初一学生大多是从功用性定义或具体形象描述水平向接近本质定义或具体解释水平转化，掌握抽象概念有一定困难,在一定程度上要依靠主观的、具体的内容，特别是比较复杂的抽象概念，还抓不住其本质属性，分不清主次的特征． 初二是掌握概念的一个转折点，初三学生基本能够掌握他们理解的概念的本质属性，能逐步地分出主次的特征，但对高度抽象概括且缺乏经验支柱的概念还理解不深．

二、 函数概念形成的难度分析

海德布雷的研究表明［3］：实物概念最容易形成，空间图形概念次之，数概念最难． 函数概念是初中数学数概念中最难形成的概念． 布鲁纳等人的研究表明［1］：概念的难度受到关键特征之间的关系的影响，难度由易到难是：肯定概念、合取概念、包含分取概念、条件式概念、双重条件概念． 显然函数概念是属双重条件概念，因此说明函数概念是最难形成概念之一. 因为教材编写上，函数概念是学生在初二上学期学习，而在初二学生的概念学习处于转折点，形成科学概念的能力还没有形成，因此给函数概念的形成增添了一定的难度，此外，还有如下几点.

第一，研究对象和思维方式的变化为学习增加了一定的难度． 从研究对象上看，初中生在函数概念形成之前，研究的是常量数学，数、式的运算和方程． 函数概念是从常量数学到变量数学的转折点，学生的数学认知结构，基本上对变量数学是一片空白，因而同化函数概念的固着点很缺乏，学生要顺应新知识的学习，重建数学认知结构，给学生学习带来一定的困难．另外变量数学的思维方式发生了变化［4］：思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图、表语言之间可以灵活转换．在函数的研究中，思维超越了形式逻辑的界限，进入了辩证逻辑思维． 与常量数学相比，函数概念的抽象性更强、形式化程度更高． 因此要求学生的思维能力有一个质的飞跃，也为函数概念的学习带来一定困难．

第二，概念维度多，给概念形成带来一定的难度． 按照心理学家的特征表述和知识分类说，函数概念可表述为：C（函数）=条件式（x1，x2），x1，x2表示变量1和变量2，因为变量之间的对应关系有运算意义，因此函数概念属于运算概念中的程序性概念． 在概念形成过程中，学生不但要区分问题中有两个变量，而且要检查两个变量之间的对应关系，而这个对应关系有的是需要计算才能获得，因此增加了概念形成的维度．

第三，函数的表现形式的多样化也对函数概念的形成增加了一定的难度． 函数可以用图象法、列表法、解析法等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来，与数学中使用单一表示的概念相比，由于函数概念需要同时考虑几种表示，并要协调各种表示之间的关系，经常需要在各种表示之间进行转换，因此大大增加了学习上的难度．

三、 函数概念形成的心理分析

函数概念的形成过程，其本质是学生建构数学认知结构的过程． 函数概念和学生原有的认知结构无直接联系，因此利用概念形成方式获得函数概念． 人教版在函数概念形成中，举了五个正例，能够使学生充分感知函数概念，这五个正例分别是［5］：

1． 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填下表，然后再用含t的式子表示s．

2． 每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张票，午场售出205张票，晚场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？

3． 在一根引簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录引簧长度的变化，探索它们的变化规律，如果弹簧原长10 cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5 cm，设重物质量为m（kg），受力后的弹簧长度为l（cm），怎样用含m的式子表示l？

4． 要画一个面积为10 cm2的圆． 圆的半径应取多少？圆的面积为20 cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r？

5． 如图1，用10米长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化． 记录不同长方形的长度值，计算相应长方形的面积值，探索它们的变化规律． 设长方形的长为x（m），面积为S（m2），怎样用含x的式子表示S？

第一个例子是学生所熟知的速度、路程、时间关系的例子，这个例子与学生的生活联系非常密切，学生理解起来容易接受，而且从分析中容易发现问题的本质属性． 首先这个例子用表格形式对时间t取不同值时，计算出对应的s的值. 首先可以使学生和已有的数学认知结构联系起来． 其次有利于学生发现变量的本质，对变量之间的对应关系会有深刻的认识． 最后要求把s用含t的代数式表示，明确变量之间的对应关系可用代数式表达出来． 本例作为首例，在概念的形成过程中作用非常大，这个例子分析透彻，有利于学生从后面几个例子中观察、分析、比较、概括出问题的本质属性，舍弃非本质属性，从而有利于函数概念的形成．

第二个例子也是和学生生活联系非常密切的例子. 例子没有直接要求学生写出y关于x的表达式，而是通过早、中、晚收入问题反映变量之间的对应关系，然后再用代数式表达. 由此使学生分析出此问题虽然与第一个问题不是同类型问题，但其本质是相同的. 学生初步形成这类问题的问题域，为后续建构数学认知结构做好了准备．

第三、五个例子是一个实验例子，学生可通过亲自实验，经历函数概念的形成过程，获得直接的生活经验. 研究表明［6］：从智力与经验对概念学习的影响程度来看，经验的作用更大，丰富的经验背景是理解概念本质的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵．这两个例子可通过实验，学生获得变量之间的对应关系，而且是亲身实践获得，更有利于学生掌握函数概念的本质．

第四个例子是反映圆的面积与半径关系，例子是通过不同的面积值计算圆的半径的值，并最后给出S与r之间的关系．从而使学生既掌握变量之间的对应关系，又可体会到这个对应关系是可以用代数式表达的． 而且变量之间的对应关系是一个逆向的，不是给圆的半径计算圆的面积，使学生进一步体会到变量之间对应的辩证关系．

以上通过五个例子，从不同的背景反映了在变化过程中有两个变量，并且变量之间有对应关系的本质，使学生建构了这类问题的问题域问题系，从而使学生建构了良好的认知结构，为同化函数概念做好充分准备． 但是学生所表征的是两个变量之间的对应关系必须用代数式表示，而这个属性并非是函数概念的本质属性，还必须使学生舍弃这个非本质属性，因此人教版紧接着给出两个思考题［5］：

思考1：如图2，是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量． 在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？

思考2：下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中第一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？说明表示变量之间的对应关系也可以是用图象或图表表示.

使学生掌握表示对应关系的三种方式，从而舍弃必须用代数式表达对应关系的非本质属性，此时学生已真正掌握了两个变量之间对应的本质，这个本质可以用解析式表示、图象表示、列表表示． 这样学生已建构起同化函数概念的数学认知结构，形成函数概念的时机已成熟，进而给出函数定义．

四、 函数概念形成的教学建议

1. 对第一个例子的分析要到位．因为按照概念形成的聚焦策略，第一个例子是学生对后面例子进行分析的思维载体，第一个例子分析好了，才有利于学生在后面的例子中发现问题的本质属性，而舍弃非本质属性，这样才有利于函数概念的形成． 此外教师的语言要启发引导，发挥学生的主体作用，让学生自主观察分析出变量之间对应的本质，这样更有利于分析后面的例子，从而概括出问题的本质属性．

2. 教师不要急于把函数概念抛出来，急于求成． 在形成过程中，急于把概念抛出来，学生不能真正理解概念，而是死记硬背概念． 事实上这个概念与学生的已有认知结构不能直接相联系，因此不能同化这个概念. 在教学过程中，经常遇到学生学到一次函数了，但还要问：老师，函数到底是什么？可见，学生函数概念没有真正形成. 而在函数概念形成过程中，人教版列举的五个例子，丰富了学生的生活经验，同时也是在建构学生的数学认知结构，以使学生能够同化函数概念. 如果直接用同化方式引入函数概念，学生同化概念的认知结构没有建构起来，这样学生不能理解函数概念．

3. 在函数概念形成后，及时进行正反例变式，以使学生对概念的内涵和外延有清晰的边界，及时与学生认知结构中已有的概念建立起关系，完善函数概念的概念系，提高概念的记忆效果，便于日后检索到这个概念. 这样才能把函数概念纳入已有的数学认知结构中，从而改组原有的数学认知结构．

总之，函数概念的形成过程，是学生建构变量数学认知结构的过程，在此过程中，学生要建构函数概念的概念域和概念系，并最终建立函数概念的图示，形成良好的CPFS结构，这样才能使学生正确地表征函数概念，真正理解函数概念．

参考文献：

［1］ 张英伯，曹一鸣. 丛书主编，喻平编著. 数学教学心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，2010.

［2］ 朱智贤，林崇德. 思维发展心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，1986.

［3］ 邵志芳，思维心理学（第二版）［M］. 上海：华东师范大学出版社，2007.

［4］ 章建跃. 函数概念的教与学［M］. 北京：人民教育出版社，2010.

［5］ 林群主编. 义务教育课程标准实验教科书 数学［M］. 北京：人民教育出版社，2008.

［6］ 曹才翰，章建跃著. 数学教育心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，2006.