我国宏观经济的分形特征探讨

［摘 要］分形理论是现代非线性科学中的重要分支之一, 它的发展为经济学研究提供了一种全新的工具。本文通过分形理论着重考察了GDP规模与股票市场的统计分布特征，以及其分形维数，认为GDP规模和股指的统计也具有分形的性质，其经验分布为稳定的幂律分布。结果表明：GDP的拟合函数为Y=11.48X-1.30，沪市股指的拟合函数为Y=15.63X-1.28，两者均严格符合Zipf分布；通过回归分析，得到以沪市股指为因变量，GDP为自变量的方程：Y=113.825+0.11X。

［关键词］GDP 股指 分形 标度区

一、引言

股市是国民经济的晴雨表，GDP是衡量国民经济发展状况的最重要指标，两者可以反映一国经济的运行状况。分形理论是当今世界非常活跃的新理论、新学科，分形是分形几何学的概念，最早是由B.B.Mandelbort 在1967 年首先提出。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则，它表示分形在通常的几何变换下具有不变性，即标度无关性，分形理论以分维作为定量特征和基本参数。分形理论的出现，解决了欧式几何无法解决的事物的局部与整体的自相似性的现象，在自然和人文科学都有广泛的运用。Batty 在1985 年开创了分形城市研究，他和Longley 研究了城市边界和城市土地利用形态分形。Frankhauser 测算了世界上许多城市形态的分维，Batty、White 等在城市形态的分形模拟方面做了很多研究。

本研究应用数理模型――分形理论对1990年以来近二十年的国民经济运行的发展进行评估，利用GDP与沪市股指的数据，首先通过严格的分形测度，利用双对数曲线证明两指标具有分形的特征，求出分维数和拟合函数方程。

二、数据与方法

1.数据处理

本文选取GDP和沪市股指作为研究对象，来代表研究时段中国宏观经济发展的基本状态。数据来源于1990年以来的《中国经济统计年鉴》。在获取数据的过程中，对原始数据进行录入、修正等预处理。在地理信息系统软件（ArcGIS）支持下，对处理后的地形图进行矢量化，提取两指标的特征数据。相关数据处理主要借助Excel2007、SPSS等软件完成。

2.数理模型

经济现象的等级结构与规模分布原本是各自独立的研究课题。现已证明，等级模式与规模分布法则一致或兼容 ，可谓是殊途同归。为此，本文将经济规模分布作为等级结构研究的重要内容。所谓宏观经济规模分布(city- size dist ribu t ion) 系指某区域(国家、地区等) 内城镇经济规模的层次分布。规模分布法则一直是理论界的难题,“很少有什么社会科学问题象经济现象的位序―规模问题(rank- size problem ) 这样, 引发了如此众多的研究。”分形理论创生以后, 这类研究才取得实质性进展。实际上, 区域城镇等级规模Zipf公式(与之等价的是Pareto分布)就是一个分形模型。设想一个区域，是一个复杂的经济体。可以设定一个针对经济总量的测度尺度r来度量(r用位序等表示)。显然，改变尺度，区域经济总量N (r)也会改变, 当r 由大变小时, N (r) 不断增大，满足关系式。

N ( r) ∝ r- D (1)

即区域经济总量与测量尺度成负幂律分布时，可以认为经济总量规模分布为分形。同理，股票市场的分形分布也可以成立。类比于Hausdorff 维数公式可知, 式中D为分维,它在一定时期内为常数。

式(1)正是规模分布的Pareto形式, 经变换可得Zipf 公式

P (k ) = P 1K q (2)

式中K 为城镇序号(K = 1,2……N ,N为系统中城镇总数)；P (k ) 是序号为K 的城镇的人口；P 1为理论上的经济总量最大年的GDP(为系数)，q为Zipf 指数。

对(2)式两边取对数，则有:

lnP (k ) = lnP 1 - qlnK (3)

q也可以写成D，其就是研究对象的分维数，D可以通过回归方程(3)求得。

三、结论与讨论

国民经济系统作为一个开放的、复杂的巨系统，具有明显的耗散结构特征，具有自相似、自组织和进化功能。这种自相似和自组织性是通过经济规律自身的作用，形成自组织演变规律。探讨GDP和股票市场作为分形结构的演化特征，从表2中的分维值的时空演变中，不难看出，不论是GDP个抑或股票指数，明显具有分形结构特征。

GDP分形特征明显。从表2中可以看到,模型的拟合优度R2 总体较高，相关系数较高。从整个市区用地来看，无标度区点列回归的拟合优度GDP为0. 995 3,沪市股指为0.999，分维的标准误差分别为0. 034 5和0. 015。作为参照，全部点列回归结果的变化特征与无标度区点列完全一致。据有关学者研究 ,当维数D 的标准误差低于临界值δc = 0. 04，就可认为事物的分布是分形的，对城市地理系统而言是一个相当严格的要求。然而,本文两指标全部符合这个标准，GDP的全部点列的分维标准误差为0.035，就低于0.04的临界值。

可见，中国股市的变动较大，其发展并不能很好的表现强劲的中国经济的发展。但是GDP总量对股市具有明显的影响。

参考文献：

[1] 姜婷婷 王高雅 王文雯：上海股票市场的分形特性研究[J].经济管理,2010,8(7):75-76

[2] Mandelbrot B B.The fractal geometry of nature.New York:Freeman,1982•55~58