浅谈概率论的创立与发展

【摘 要】概率论和统计学是研究自然界中大量随机现象统计规律性的一门科学。概率论从数学观点研究随机现象的基本性质；统计学从搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特性，这两本学科已经形成一门理论严谨，应用广泛，发展迅速，方法独特的数学分支。概率论起源于中的问题、随机游戏，社会保险与社会实践的需要促进了概率论的发展，其理论方法在科学技术、工农业生产及国民经济各部门日益受到广泛的应用。

【关键词】概率论；统计学；随机游戏；中心极限定理；概率论公理体系

概率论和统计学是研究自然界中大量随机现象统计规律性的一门科学。随机现象是客观世界中广泛存在的一类自然现象，它具有三个特点：（1）一次观测的不确定性；（2）大量观测具有统计规律性；（3）每次观测结果可数据表示。概率论从数学观点研究随机现象的基本性质；统计学从搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特性，这两本学科已经形成一门理论严谨，应用广泛，发展迅速，方法独特的数学分支。

1 中的问题、随机游戏――概率论的起源

概率论创立于17世纪，但它的思想萌芽一般来说始于意大利文艺复兴时代，最先引起数学家们注意的则是中的问题。15世纪意大利和法国盛行，而且赌法复杂，赌注量大。一些职业赌徒，为求增加获胜的机会，迫切需要计算获胜的思路，如意大利贵族请天文学家伽利略（1564-1642）解释下列问题：掷三个筛子，出现9点与10点的各种六种不同组合法，但在经验上，发现出现10点的次数多于9点，是何缘故？伽利略给出了使对方信服的答复：

三个骰子各面点数构成总和为9的各种组合：1、2、6；1、3、5；1、4、4；2、2、5；2、3、4；3、3、3；而组合等于10的各种组合为：1、3、6；1、4、5；2、2、6；2、3、5；2、4、4；3、3、4.。而各种组合出现的机会并非相等。例如，3、3、3只有一种途径掷出；而3、3、4则有三种不同途径掷出；这样，9可有25种不同途径掷出；10则有27种不同途径掷出。这一解答成为概率论应用题的首次成果。

另一位法国赌徒梅耳提出了一个掷骰子中的难题：掷一粒骰子4次至少出现一个6的机会要比掷两粒骰子4次至少出现一对6的机会更大些，这是否成立？这就是有名的“梅耳猜想”。他拜请法国数学家帕斯卡（1623-1662）来解答，这一问题引起了帕斯卡和他的朋友费马的极大兴趣，经过多次通信研究，于1654年对此问题获得一般的解法，肯定了“梅耳猜想”是对的，并奠定了近代概率论和组合分析基础。

16世纪意大利数学家卡当曾计算过掷两颗或三颗骰子时，出现某个点数的可能性的大小，并讨论了博弈中有限个等可能的情况问题。他的研究成果集中体现在他的《论》一书中，由于中的概率问题最为典型，因此，从这个问题开始研究随机现象的数量规律，便成为当时数学研究的一个重要课题，但这时期对博弈问题讨论的思想方法尚未形成独立的数学内容。

2 社会保险与社会实践的需要――概率论的发展

概率论发展的直接动力在于实践中应用，特别是社会保险中的需要。17世纪资本主义工业和商业的兴起和发展，是社会保险应运而生，各种意外事件发生的概率，如火灾、水灾等，这就大大刺激了对概率问题的研究。也正是对这些问题的研究，推动了数学的发展，是一门崭新的数学学科――概率论的诞生。其中做出突出贡献的数学家有帕斯卡、费马、伯努利、棣莫弗等人。如帕斯卡、费马基于排列组合的方法，讨论了中的赌注分配问题，为古典概率的形成提供了思想基础，帕斯卡在他的《论算术三角形》中用组合数学方法计算只涉及有限个基本条件的概率问题，称为组合概率。1657年荷兰物理学家惠更斯发表了《论中的推理》的重要论文，提出了数学期望的概念。伯努利把概率论的发展向前推进了一步，于1713年出版了《度术》，指出概率是频率的稳定值。他第一次阐明了大数定律的意义。在单一的概率与众多现象的统计度量之内建立了关系，为概率论推向更广泛的应用领域奠定了理论基础。

概率论的诸多重要定理是在18世纪提出和建立起来的，例如，1718年法国数学家棣莫弗发表了重要著作《机遇原理》书中叙述了概率乘法公式和复合事件概率的计算方法，并在1733年发现了正态分布密度函数，但他没有把这一结果应用到实际数据中。法国数学家拉普拉斯将棣莫弗的结果推广到一般的情形。即现在所指的棣莫弗―拉普拉斯定理，这是概率论中的第二个基本定理，拉普拉斯对概率的意义如何抽象化做出了杰出的贡献，提出了概率的古典定义，并把概率论有效的应用到人口统计学等社会各领域，他的著作有《分析概率》和《概率的哲学探讨》。在《分析概率》中，拉普拉斯不仅实现了概率方法上的革命，而且系统整理了18世纪之前概率论所处理过的所有重要的问题。德国数学家高斯发展了误差理论，并提出了最小二乘法。一些数学家开始注意把等可能思想推广到含有无数个可能性的情况，从而产生了几何概率。法国数学家蒲丰在其《或然算术问题》中提出了有名的“蒲丰问题”。对这一问题的研究导致了著名的蒙特卡洛方法的产生。泊松提出了一种重要的概率分布――泊松分布。

3 中心极限定理与概率论公理体系的建立

到19世纪末，概率论的主要研究内容已基本形成，但有两个问题从理论上没有解决：

一是概率论的公理体系；二是中心极限定理成立的条件。1928年原苏联数学家柯尔莫戈洛夫总结前人之大成，提出了概率论公理体系即概率的公理化定义，给出了柯尔莫戈洛夫不等式，这是证明大数定律的重要工具。

概率论里所说的极限定理，主要研究随机变量序列的各种收敛性问题，其中包括两种类型定理：一是大数定律；二是中心极限定理。中心极限定理的名称是美国数学家波利亚1920年提出的。历史上最初的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，条件A出现的次数渐进于正态分布的问题。中心极限定理早在1730年棣莫弗就研究过。随后拉普拉斯用了将近20年的时间研究独立随机变量及分布，提出了其极限分布是正态分布，然而他的证明不够严格。数学家李亚普诺夫于1901年给出了严格的证明，在证明过程中他提出了特征函数这一非常有用的工具，自1901年起许多人在这方面做过工作，主要目标是研究使中心极限定理成立的最广泛条件，直到1922年才有突破性进展。林德伯尔格提出了以他的名字命名的条件，到1935年美国数学家南斯拉夫―费勒发现：在独立随机变量数列情况下，这个条件不仅是充分条件，甚至在一定条件下还是必要的。

4 各种随机过程的形成与概率论的现代应用

自20世纪初开始，随着生产和科学技术中的概率问题的大量出现，概率论得以迅速发展，并不断诞生出一系列新的分支理论，其理论方法在科学技术、工农业生产及国民经济各部门日益受到更广泛的应用。当代概率论的研究方向主要是随机过程，随机过程是研究无穷多个随机变量的集合，它是现实世界中随时间变化的随机现象的数学抽象，如某地区每年的降雨量；百货公司每天接待顾客人数等，随机过程的发展与力学体系理论有密切的关系，马尔可夫推广了大数定律和中心极限定理的应用范围，奠定了随机过程的发展基础，他提出的马尔可夫过程，是现代概率论的基本内容。在理论物理、化学和其他方面有着广泛应用。（下转第224页）

（上接第179页）早在20世纪30年代末至50年代初，著名数学家杜布和莱维就创立了鞅论。鞅论理论的发现不仅成为随机过程中最活跃的分支之一，而且还愈来愈广泛地应用于马氏过程、点过程、估计理论、随机控制等理论分支及其应用领域。另外，随机过程与基础学科相结合，又产生了一些新的边沿分支，如与微分方程、数理统计、数论、几何、计算数学等相结合，便产生了随机微分方程、随机过程统计、几何概率、计算概率等新分支。这样，当代概率论的研究方向大致可分为极限理论、马尔可夫过程、独立增量过程、平衡过程、鞅论和随机微分方程、数理统计学等。

【参考文献】

[1]李玉琪.数学方法论[M].海口：南海出版公司，1990.

[2]解恩泽，徐本顺.数学思想方法[M].济南：山东教育出版社，1989.

作者简介：陈为华（1982―），女，山东日照人，学士，日照职业技术学院教师，从事高等数学研究。