浅谈圆与圆的位置关系中辅助线的作法

在平面几何中，圆与圆的位置关系中许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的问题，添上合适的辅助线，往往就会迎刃而解，思路畅通。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索，归纳几种常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。

一、 两圆相交作公共弦，借助公共弦解决相关问题。

如：（2012年广东佛山中考题）（1） 按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a

分析 （1） 根据题意画出图形，只有两圆相交才能得出四边形，即可得出答案a+b>4。

（2） 欲求四边形面积，首先确定该四边形适用的面积公式，本题通过观察发现，当连接BD后，根据相交两圆的性质得出DBAC，BE=DE，设CE=x，则AE=4—x，根据勾股定理得出关于x的方程BE2=32—x2=22—（4—x）2，求出x=，BE=，最后根据三角形的面积公式求出面积即可。

二、 作相交两圆的连心线，借垂径定理等相关知识解决问题。

如：如图，在梯形ABCD中，以两腰AD、BC分别为直径的两个圆相交于M、N两点，过M、N的直线与梯形上、下底交于E、F。

求证：MNAB。

分析 因为MN是公共弦，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线，作辅助线OO，必有MNO1O2，再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2//AB，从而得出∠EFA=∠EGO1=90°，易证MNAB。

三、 两圆相切时，作过切点的公切线，利用弦切角架设两圆角的关系的桥梁。

如：（2005年武汉中考题）如图，已知：O1、O2外切于点P，A是O1上一点，直线AC切O2于点C交O1于点B，直线AP交O2于点D.

（1） 求证：PC平分∠BPD；

（2） 将“O1、O2外切于点P”改为“O1、O2内切于点P”，其它条件不变.（1）中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论.

分析 本题综合考查了圆与圆的位置关系中角平分线的判断，同时考查了切线的性质。（1） 欲PC平分∠BPD，即证∠BPC=∠CPD，可以过点P作两圆的公切线PM交AC于点M（图略），根据切线的性质得出∠BPM=∠A，∠MPC=∠C，再通过∠BPC=∠BPM+∠MPC=∠A+∠C=∠CPD得出最后的结论。

（2）过点P作两圆的公切线PM，则∠MPB=∠A，∠MPC=∠BCP，同（1）方法易证PC平分∠BPD。

四、 相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心时，常用连结过交点的半径作为辅助线，加以解决。

如：如图，O与O相交于A、B两点，且O2在O1上，点P在O1上，点Q在O2上，若∠APB=40°，求∠AQB的度数。

分析 欲求∠AQB的度数，由圆周角和圆心角的关系想到连结O2A、O2B，在O1中利用圆内接四边形性质可得∠AO2B=140°，从而在O2中，根据圆周角与圆心角的关系易得∠AQB=∠AO2B=70°。

五、 对于综合性较强的问题，需要同时考虑多条辅助线的添加。

如：（2011年黄石中考题）已知O1与O2相交于A、B两点，点O1在O2上，C为O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与O1交于另一点D.

（1） 如图（1），若AD是O1的直径，AC是O2的直径，求证：AC=CD；

（2） 如图（2），若C是O1外一点，求证：O1CAD；

（3） 如图（3），若C是O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？

分析 此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质，根据相交两圆的连心线垂直平分两圆公共弦，以及垂直平分线的性质是解决问题的关键.

（1） 连接O1O2，连接CO1，利用直径所对圆周角等于90°，以及垂直平分线的性质得出即可；

（2） 连接O1O2，延长交AB于G，连接AO1，根据已知得出∠AO1O2+∠O1AB=90°，再利用∠O1AB=∠C，进而得出∠C+∠D=90°；

（3） 延长O1C交AD于F点；连接AO1并延长交O1于E点；连接EB，AB，根据线段的垂直平分线定理得到C在AD的垂直平分线上、O1在AD的垂直平分线上，进一步推出结论。

几何辅助线的添加，是几何学习的一个难点，正确添加辅助线，是沟通题设和结论的桥梁，也是解题的重要手段。学生在做几何题时，明知需要引辅助线，但又不知如何引，而是乱加辅助线，反而使图形复杂，影响思路与问题的解决。因此，恰当添加辅助线，使问题迎刃而解，从而调动学生积极性，激发学习兴趣，开发智力，掌握解题技能与技巧，提高解题效率，培养思维能力。