工程数学中利用洛朗级数求积分问题浅析

【摘 要】本文结合工程数学课程中利用洛朗级数求积分问题的实例，对学生在工程数学课程学习中容易混淆的求积分方法进行了分析、比较与归纳总结，并且对于本课程中洛朗级数与其他章节之间的联系作了详细阐述，以供参考和借鉴。

【关键词】洛朗级数 高阶导数公式 留数

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）23-0061-02

工程数学课程是各个高校工科专业的学生在具有了高等数学的基础上，为了能够用更加方便的理论工具来处理工程中常见的问题而开设的一门课程。不同高校所开设的工程数学课程的内容与课时根据其实际情况都有所不同，中国矿业大学工程数学教学团队在长期的教学过程中根据学生的专业性质制定了相应的教学大纲，本课程只包含复变函数、场论和积分变换三部分内容，共计48课时，线性代数与概率统计部分单独开设课程。

关于工程数学课程的教学内容或者方法的改革与探讨较多，既有对于教学方法、教学策略的探讨，也有关于具体数学工具及应用类的分析。笔者在长期的教学过程中发现很多同学由于受本课程的课时限制以及学习方法不当，对于本课程中计算复变函数沿着闭曲线积分问题的理解不够深刻，各个章节之间的联系认识不足，所以促使笔者产生了抛砖引玉的想法，对于如何利用洛朗级数求积分问题，本文进行了仔细梳理和分析。

在工程数学课程的复变函数部分仔细介绍了利用洛朗级数展开式来计算沿闭曲线复变函数积分，随后又介绍了利用留数方法（即洛朗级数展开式中负一次项系数C-1）来计算沿闭曲线复变函数记分，很多同学由于这两部分内容前后相邻并且都是需要计算C-1而混淆其不同之处。本文借助课后习题中的一个典型习题的多种解法，揭示上述两种解法的不同点以及常见的四种解法的优劣之处，以供参考和借鉴。

例题1：计算 ，其中C为正向圆周：

解法1：利用洛朗级数展开式，首先构造解析同心圆环形区域：1

通过比较上述两种解法，我们发现虽然都是需要将函数展开为洛朗级数，但是解法1只需要在圆环（不一定是去心邻域）内展开1次，圆心可以有不同选择（解法1只是为了计算方便才选择圆心为0，也可以选择其

他解析点作为圆心）；而解法2在C内部的每个奇点处的解析去心邻域内都要展开，且圆心必为内部对应奇点。如果不仔细观察上述两种解法的不同点，同学们非常容易混淆两种解法的不同之处。

当然，除了上述两种解法之外，我们还有另外的解法可以处理上述沿闭曲线积分的问题，如：

解法3：利用柯西公式及高阶导数公式。被积函数可以拆项为：

解法4：本解法与解法2的相同点都是利用留数来计算，但是解法2是利用洛朗级数展开式的负一次项来计算留数，而实际上大部分常见孤立奇点处的留数都可以使用更简洁的留数计算法则来计算：

综合比较上述四种解法，各有其优缺点。由于洛朗级数展开的方法变化较多，某些函数甚至无法用常用方法展开，所以解法1和2有一定局限性。表面上看起来解法3最简洁，但实际上能够利用柯西公式和高阶导数解决的积分只占很少的一部分，因为满足柯西公式和高阶导数的被积函数类型是有非常强的限制条件的。解法4和解法2均为利用留数计算，但相对来说因为有现成的留数计算法则可以利用，所以解法4要相对更常用一些。当然这也并不是绝对不变的，在某些情况下，也完全有可能解法2比解法4要更简单，下面这个例子就印证了这一点。

实际上如果在本题中把z=0极点的级别看高了，即将其看成6级极点，利用留数规则来计算却会简单很多。

这个结果也是对的，而且这并不是偶然的，课本上说这个结论可以从留数计算规则的推导过程中得出，即如果把极点的级数看高，留数计算结果仍然正确。

因此，同学们在求解沿闭曲线复变函数的积分时应该仔细分析被积函数和积分曲线的特征，根据具体题目灵活选择合适的求解方法。就笔者看来，在工程数学课程中计算沿着闭曲线的复变函数积分时大家首要应该掌握的是与留数有关的解法4和解法2，因为留数的计算不仅在复变函数部分很重要，而且在本课程的最后与工程技术应用紧密相关的Laplace变换部分，很多Laplace逆变换的计算也是通过留数计算得出的。

总而言之，洛朗级数展开方法并不仅仅是工程数学课程中一个相对独立的部分，对于洛朗级数展开的详细分析不但有助于我们分析理解复变函数奇点的分类，还有助于我们计算不同类型奇点的留数，进而可用来求Laplace逆变换等。相信通过本文对于上述4种解法优缺点的详细分析与比较，一定能够帮助读者们进一步理解工程数学中洛朗级数展开方法在求解沿闭曲线积分计算中所起到的重要作用。

参考文献

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