浅谈Excel在高等数学教学中的应用

[摘要]Excel是最优秀的电子表格制作软件之一，不仅具有强大的数据计算、分析和统计的功能，还具有强大的制表及绘图功能。本文讨论了Excel在高等数学教学中的几个简单应用，将抽象的问题可视化，同时突出了其中量的变化，有利于概念的理解和掌握，提高学习兴趣。

[关键词]Excel 高等数学教学 极限 函数逼近 定积分

一、引言

高等数学是高等院校理工科专业的基础理论课程，许多高校的文科专业也开设了这门课程，高等数学的思想和方法已经渗透到了任何一门学科领域，对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力起着重要的作用。

21世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，信息技术已经渗透到了各行各业。在教学中，传统的“一块黑板一支粉笔”的教学模式已经无法满足时代的需求。应用多媒体CAI课件辅助教学，不仅可以将文字、图形、图像、声音、动画、视频等多种媒体形式作用于学生的多种感官，模拟一些自然现象和科学现象，将抽象的教学内容变得生动、多彩，形象直观地表现出来，更贴近学习的实际情况，因而能够使学生获得大量的感性认识，充分调动学习的自主性，提高学习兴趣，大大提高课堂效率。在教学中如何充分利用信息技术提高教学质量已经成为高等数学教学改革的主要课题。

二、常用多媒体课件制作工具的比较

在教学过程中经常使用多媒体CAI课件，常用的开发软件有Powerpoint、Flash、Authorware、Matlab及几何画板等。

Powerpoint是制作多媒体演示文稿的专业软件，制作出的文件又称为“演示文稿”或“电子简报”，是由多张幻灯片组成，将需展示的文字、图像、声音及视频插入到幻灯片中。还可以将这些对象设置动作，以达到一定的动画效果和交互功能。[1]

Flash是非常流行的二维动画制作软件，具有简单易学、操作方便，更适合于网络，其制作的课件界面美观、声形并茂、动静结合、交互方便，同时具有良好的兼容性，能够方便地被Authorware、Powerpoint等课件制作软件所调用。

Authorware是基于设计图标和流程图的可视化多媒体开发工具，采用的是面向对象的设计思想，提供多种开发向导，因此易学易用，不必编写复杂的程序代码，能够制作出表现力强、交互性强的课件。[2]

Matlab是为科学和工程计算而设计的交互式软件，具有强大的数值计算能力和仿真能力，提供丰富的函数，能够绘制复杂的二维和三维图形。

几何画板是一种教学辅助软件，适用于几何及物理教学，它以点、线、圆为基本元素，能构造出复杂的几何图形。能够让学生实际“操作”几何图形，如任意拖动图形、观察图形，从而增强对各种图形的感性认识，有助于学生理解和证明几何问题。

Excel是创建和维护电子表格的应用软件，是目前市场上功能最强大的电子表格制作软件，与Word、Powerpoint、Acess等软件构成了Office办公自动化软件的完整体系，并能与Office其它组件相互调用数据，通过Internet实现资源共享。Excel的工作界面和Office系列的其他软件的工作界面十分类似，制作者不需要掌握高深的编程技术，学习和应用起来十分方便。它内置了数学、统计、财务等多种函数，具有强大的数据计算、分析和统计的功能，还具有强大的制表及绘图功能，能够通过二维和三维图表等多种形式。[3]

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，是数与形的结合，因此在制作课件时，不仅要将抽象的数学概念形象化，而且还应该考虑将研究问题的数量关系表现出来。作者结合多年的教学经验，在高等数学教学中主要使用Powerpoint制作课件，同时使用Excel制作一些电子表格和图形插入Powerpoint课件中，供学生观察和操作，从而帮助学生从数量关系方面去认识和发现问题的规律和本质，取得了良好的教学效果。

三、应用Excel增强对极限概念的理解

高等数学是以函数作为主要研究对象，其所用的基本工具是极限理论，极限思想贯穿整个微积分课程，深刻理解极限的概念是十分必要的。学生在高中学习阶段就已经接触到了高等数学中微分和积分的一些基本知识，能够求解某些简单的极限、导数和积分问题，但是他们对这些问题的理解只停留在如何解题方面，对极限反映的数学实质没有深入的理解，也没有体会到其中的量变到质变的辩证思想。

数列极限定义：设{xn}为一数列，a是常数，

对任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，总有|xn-a|

此定义还可以理解为：在数列{xn}中，当项数n充分大以后，对应的项xn与常数a无限接近。

说明：1.“任意正数ε”刻画了数列的项xn与常数a的接近程度。

2.“存在正整数N，使得当n>N时”表示n充分大。

如何理解“当n充分大时，xn与常数a无限接近”呢？

例1 考察数列xn=（n+1）/n的极限。

Excel中的最小元素是单元格，各单元格间有密切的联系，当一个单元格内的数据发生变化时，就会影响到与其关联的其它单元格内的数据。我们设计了表1、表2和表3，列出该数列某些项及对应的xn值，通过对数据的观察，发现随着项数的增大，xn接近常数a=1。

表2列出每h=10项对应的xn及|xn-a|的值，此表中第4行定量地反映了xn与常数a=1的接近程度。

表3中设置了两个参数ε和N，完成一个动态的交互。当输入一个认为足够小的正数ε时，系统返回一个N值，当调整ε的值时，N将随之改变，如表4。可以引导学生观察第N项之后的每项，其与常数a=1的差都小于预先给定的ε，而第N项之前的每项，与常数a=1的差不一定都小于ε。

表3和表4充分体现了数列极限的定义，刻画了N与ε的关系，只有n充分大后对应的项xn与常数a才无限接近，并不是数列中所有的项与常数a都满足一定的接近程度，

表1：数列xn=（n+1）/n的值

表2：数列xn=（n+1）/n与常数a=1的接近程度

表3：n充分大时数列xn=（n+1）/n与常数a=1无限接近

表4：调整ε后数列xn=（n+1）/n与常数a=1的接近程度

通过对数量关系的具体分析，学生对数列极限有了量的理解。因为数列是一种特殊的函数，所以我们利用Excel的二维图表功能，建立表1的散点图，如图1所示，将数列的变化趋势十分直观地反映出来。

这样通过应用Excel的计算和绘图功能，将数列极限的内涵直观地表现出来，到达了数形结合，促使学生更好地理解和掌握极限概念。

四、应用Excel对函数逼近的理解

导数是高等数学的核心概念之一，是微分学的主要内容，是研究函数变化快慢、单调性、极值等问题最有效的工具。在函数的研究中，常常利用一些简单的函数来近似较复杂的函数。因为用多项式表示的函数，只要对自变量做有限次的加、减、乘运算，就能求出其函数值，并且多项式表示的函数具有任意阶导数，所以经常用其来近似表示其它函数。主要有泰勒多项式和麦克劳林多项式。

例2：分别用x的1次、3次、5次和7次泰勒多项式表示函数y=sinx。

构造函数y=sinx的1次、3次、5次和7次泰勒多项式y1=x，

。因为它们都是奇函数，所以在计算时只考虑了x>0的情况，得到表5，其中列出了在不同x处相应的函数值，并利用Excel绘制了它们的折线图2。

通过对表5和图2的观察，可以得到以下结论：

（1）|x|越小，函数y1、y2、y3、y4与y=sinx的值越接近；

（2）泰勒多项式的次数越高，近似程度越好。

这样通过应用Excel的计算和绘图功能，将导数的内涵直观地表现出来，使学生从感性和数量上充分理解了函数逼近的含义，对函数的近似计算有了更深的了解。理解和提高泰勒多项式的次数是提高计算精度的一种方法，为今后学习无穷级数打下坚实的基础。

五、应用Excel对定积分的理解

定积分是高等数学的另一个核心概念，有着十分广泛的应用，如平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长、变速直线运动物体的路程、变力沿直线所作的功、水压力等问题都可以化为定积分问题。

例3 利用定积分的定义计算 。

“大化小，常代变，近似和、取极限”这几个简单的文字深刻地描述了定积分的基本思想，利用其它软件如Powerpoint、Flash等可以形象直观地展示定积分的思想，但是要反映出其中的数量关系却有一定的难度。

教学中我们在Powerpoint课件中插入利用Excel绘制的函数y=x2的图形，利用Powerpoint制作了曲边三角形2等分、4等分、8等分时的动画效果，再利用Excel制作了表6，其中n是交互项，是积分区间[0，1]的等分数，分别计算相应划分时的积分上和及积分下和，即以分划的各小区间的右端点和左端点函数值为高构造的小矩阵的面积之和。

为了更好地理解划分与小矩形的面积之和的关系，设计了表7，加入一个参数n，表示积分区间的等分数，利用定积分近似计算中的矩形法，分别计算出相应划分时的积分上和及积分下和。对其中的数据进行分析，发现：无论如何划分，积分上和及积分下和，随着划分的加细，总趋向于确定的极限a。

这样利用Powerpoint的动画和Excel的简单计算，实现了动静结合，数形结合，可以将定积分的基本思想表现得淋漓尽致。

六、结束语

数学是一门十分抽象的学科，学生在学习中感到非常深奥难懂，而Excel简单易学，操作简便，因此在教学过程中，适当应用Excel辅助教学，不仅能将抽象乏味的数学概念用形象直观的图形进行描述，而且能够揭示出其中的数量关系，对问题进行定性和定量的分析，使认识从感性到理性，从具体到抽象，知道了数学现象，体道了数学现象的本质规律，有助于对问题的理解，从而使课堂教学更加生动形象，降低数学学习的枯燥性，增强学生的学习兴趣，提高教学水平。

[参考文献]

[1]杜茂康，刘宴兵，袁浩.Excel与数据处理[M].第2版.北京：电子工业出版社，2005.10

[2]同济大学数学系.高等数学[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.4：26

[3]方其桂.多媒体CAI课件制作实例教程[M].第3版.北京：清华大学出版社，2008.10：81

[4]江红，余青松，蒲鹏.Authorware7.0应用技术[M].北京：清华大学出版社，北京交通大学出版社，2006.4

（作者单位：1.云南大学信息学院，2.云南大学职业与继续教育学院 云南昆明）