平面向量广义定比分点公式
时间：2022-09-28 08:15:54
在学习平面向量知识时，自然会接触到定比分点的概念及其计算公式，推广线段的定比分点，更有助于使用向量工具处理数学问题.
定理：若在ABC中，点E、F分别分向量AB、
AC所成的比为λ、μ，且BF交CE于点M，则
AM=λ1+λ+μ
AB+μ1+λ+μ
AC
证明：如图1，因为点B、M、F共线,
所以AM=(1-t)AB
+tAF.
同理AM
=(1-t′)AC+t′AE(这是因为C、M、E三点共线）.
所以（1-t)AB+tAF
=(1-t′)AC+t′AE①
因为E分AB所成的比为λ,
即AE=λEB,
所以AE=λ1+λAB.②
同理AF=
μ1+μAC.③
(这是因为F分AC所成的比为μ)
将②、③代入①得
(1-t)AB
+tμ1+μ
AC=(1-t′)AC
+t′λ1+λ
AB
因为向量AB、AC不共线
所以1-t=t′λ1+λ
tμ1+μ=1-t′
消去t′可得
t=1+μ1+λ+μ.
所以AM=
(1-t)AB+tμ1+μAC
=(1-1+μ1+λ+μ)AB+
1+μ1+λ+μ・
μ1+μAC
=λ1+λ+μ
AB
+μ1+λ+μ
AC.
例1 如图2，已知ABC中，点P在ABC内，且3AP+4BP
+5CP=O，延长AP交BC于点D，设AB
=a,AC=b,试用a、b
表示AD.
解：由3AP+4BP+5CP=
O3(AB+BP)+4BP+5(CB
+BP)=OBP
=312BA
+512
BC.
设CP交AB于点E，BE=λEA
,BD=μDC，
根据广义定比分点公式，得
λ1+λ+μ
=312μ1+λ+μ
=512
λ=34
μ=54
从而BD=54
DCAD-AB
=54(AC-AD)
AD=49
a
+59b(已知AB=a,AC=b),
例2 已知ABC的三边a、b、c成等差数列，且a
求证：（1）OI
=aOA+bOB+cOCa+b+c；
(2)GI∥AC.
证明：（1）如图3,设角B、C的平分线BE、CF分别交AC、AB于点E、F，由内角平分线定理知λ=
AFFB
=ba
,μ=AEEC=ca,
从而1+λ+μ=a+b+ca.
根据广义定比分点公式
AI=λ1+λ+μ
AB+μ1+λ+μ
ACAI
=ba+b+cAB
+ca+b+c
AC
OI-OA
=ba+b+c
(OB-OA)+
ca+b+c(OC-OA
)OI
=aOA+bOB+cOCa+b+c(*)
(2)如图4，设ABC的中线BM、CN，则BM交CN于点G，从而λ ′=ANNB
=1,μ′=AMMC=1.
1+λ′+μ′=3.
根据广义定比分点公式
AG
=λ′1+λ′+μ′
AB+μ′1+λ′+μ′
AC=13
AB+13
AC.
所以OG-OA=13
（OB-OA）+13
（OC-OA）,
所以OG=13OA+
13OB+13
OC（**）
将式（*）与（**）相减，得
OI-OG=（aa+b+c
-13)OA+
(ba+b+c-13)OB
+(ca+b+c-13)OC.
因为a
所以不妨设公差为d,则d=c-b=b-a>0，
所以OI-OG=
d3b(OC-OA)，
所以GI=d3b
AC.
显然，内心Ｉ不在ＡＣ上,
所以GI∥AC,
(注：式（**）也可以从重心方程GA+GB
+GC=0得到）
例3 设D、EABC的边AB、AC上，DC与EB交于F，且AD=AE，FB=FC，求证：AB=AC.
证明：如图5，设ABC的角A、B、C所对边分别为a、b、c，
令AD=λDB,AE
=μEC,则
AD=λ1+λ
AB
,AE=μ1+μ
AC.
又已知|AD|=|AE|，
所以λc-μb=λμ(b-c).①
根据广义定比分点公式得
AF=λ1+λ+μ
AB+μ1+λ+μ
AC,
从而BF
=BA+μBC1+λ+μ,
CF
=CA+λCB1+λ+μ.
因为已知BF2=CF2
所以（BA+μBC)2=(CA+λCB）2
所以c2+μ2a2+2μBA
・BC=b2+λ2a2+2λCA・CB.
在ABC中，运用余弦定理可得
2BA
・BC
=a2+c2-b2,2CA・CB
=a2+b2-c2,
所以c2+μ2a2+μ(a2+c2-b2)=b2+λ2a2+λ(a2+b2-c2),
所以(1+λ+μ)［(μ-λ)a2+(c2-b2)］=0.
所以（μ-λ)a2=b2-c2②
若b>c,则由②知μ>λ,
所以μb>λc.
由①可得 λμ(b-c)
所以b
所以b≤c.
同理c≤b
于是b=c,即AC=AB.
以上几例充分说明广义定比分点公式是平面向量内容中较重要的向量方程，掌握定比分点推广式有利于提高解题能力.
贵州省安顺市双阳中学（561018）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文