一类三次函数的求值问题

已知f(x)=x3-3x2+6x-6,且f(a)=1,f(b)=-5,则a+b=.这是一个三次函数的求值问题，下面利用方程的思想及函数的思想来探求这类问题的解法.

思路1：利用方程的思想

解法1：f(a)=1得：

a3-3a2+6a-6=1(1)

f(b)=-5得：b3-3b2+6b-6=-5(2)

由（1）（2）联立方程组解得a,b从而得a+b=2.

解法2：令f(a+b)=k,得方程（a+b)3-3(a+b)2+6(a+b)-6=k(3)

由（1）（2）（3）联立方程组解得a,b,从而得a+b=2.

上述利用方程和方程组的思想解决问题，思路简单，但解三次方程比较复杂，高中阶段没有学过其解法，因此这种方法不易采用.

思路2：利用函数的思想

解法3：利用函数的对称性

假设f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)图像的对称中心为（m,n)，则对于y=f(x)上任意一点（x,y)关于（m,n)对称的点（2m-x,2n-y)仍在y=f(x)的图像上，即有2n-y=f(2m-x),故有f(x)+f(2m-x)=2n恒成立，即（ax3+bx2+cx+d)+a(2m-x)3+b(2m-x)2+c(2m-x)+d=2n

将上式打开得：（2b+6ma)x2-(12m2a+4bm)x+(2d+8am3+4m2b+2mc)=2n.

上式对任意x恒成立，必有

2b+6ma=0

-(12m2a+4bm)=0

2d+8am3+4m2b+2mc=2n(1)(2)(3)

由（1）（2）得：m=-b3a,所以三角函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图像的对称中心为

（-b3a,f(-b3a)).

按上述方法可得：-b3a=--33

=1,

f(-b3a=f(1)=-2,所以f(x)=x3-3x2+6x-6的对称中心是P（1，-2），由f(a)=1,f(b)=-5知：A（a,1)、B(b,-5)在函数图像上，P（1，-2）、A（a,1)、B(b,-5)三点中P（1，-2）点的纵坐标满足中点坐标公式，所以A、B关于P点对称，由中点坐标公式得：a+b=2.

解法4：利用函数的奇偶性

所有二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)都有对称轴，通过平移变成y=ax2的形式，它的图像关于y轴对称，反之，任何一个二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)都由y=ax2平移得到，那么f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是否也可以平移为y=ax3,下面验证.

假设f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)可以平移为y=ax3,设平移向量是（m,n),则a(x-m)3+b(x-m)2+c(x-m)+d+n=ax3.

上式打开，对照系数：

b-3ma=0

3m2a-2bm+c=0

-am3+m2b-mc+d+n=0

(1)(2)(3)

由（1）得：m=b3a,代入（2）得b2=3ac,这对于任意f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是不可能的，即f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)通过平移不可能得到y=ax3,但是，任何一个奇函数关于原点对称，于是启发我们，f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是否通过平移向量（m,n)平移为y=ax3+kx(a≠0)，下面验证f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)可以平移为y=ax3+kx,设平移向量是（m,n)，

a(x-m)3+b(x-m)2+c(x-m)+d+n=ax3+kx.

上式打开，对照系数：

b-3ma=0

3m2a-2bm+c=k

-am3+m2b-mc+d+n=0

(1)(2)(3)

由（1）得：m=b3a,代入（2)得k=c-b23a,代入（3）得n=

-2b3+9abc-27a2d27a3,故m,n是唯一确定的，按上述方法求得平移向量（m,n)，得到y=ax3+kx,此函数是奇函数，对称中心是（0，0），那么f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的对称中心由（0，0）按相反向量（-m,-n)平移得到，即对称中心坐标是：（-b3a,f(-b3a)).

由-

b3a

=-33=1,将f(x)=x3-3x2+6x-6变形为：f(x)=(x-1)3+3(x-1)-2,f(a)=(a-1)3+3(a-1)-2=1,所以(a-1)3+3(a-1)=3,f(b)=(b-1)3+3(b-1)-2=-5,所以(b-1)3+3(b-1)=-3,设h(t)=t3+3t,容易知道h(t)是R上的奇函数，且单调递增，所以h(a-1)=(a-1)3+3(a-1)=3,所以h(b-1)=(b-1)3+3(b-1)=

-3,h(a-1)=h(1-b),必有a-1=1-b,即a+b=2.

反思：三次函数在对称中心的左右两侧的凹凸性是相反的，若左侧是凸函数，则右侧是凹函数；若左侧是凹函数，则右侧是凸函数，而凸函数是随x的增大其切线的斜率逐渐减小，即

f ′(x)是减函数，也就是说，f ′(x)的导数小于0.凹函数随x的增大其切线的斜率逐渐增大，即f ′(x)是增函数，也就是说，f ′(x)的导数大于0；而在对称中心处，f ′(x)的导数等于0，所以，求出f ′(x)的导数等于0的x，就是对称中心横坐标，即f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的f ′(x)=3ax2+2bx+c,(f ′(x))′=6ax+2b,令(f ′(x))′=0,得x=-b3a,所以任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都是中心对称图形，其对称中心是：（-b3a,f(-

b3a)),

甘肃省临泽第一中学（734200）

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