思维品质在函数问题中的体现

摘 要：函数的定义域是构成函数的两大要素之一，在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

关键词：数学思维 函数 定义域

思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现，它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中若不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式。

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

故函数关系式为：S=x(50-x)。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0＜x＜50。

即：函数关系式为：S=x(50-x)（0＜x＜50）。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax +bx+c(a＞0)在R上适用，而在指定的定义域区间［p，q］上，它的最值应分如下情况：

故本题还要继续做下去：

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

故所求的函数值域是［1，+∞）。

以上例子说明，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

如果在做题时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性与定义域也有密切关系。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。

参考文献：

［１］王岳庭.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社，1998.

［２］田万海.数学教育学.浙江：浙江教育出版社，1993.

［３］庄亚栋.高中数学教与学（99.2、99.6).扬州：中学数学教与学编辑部出版，1999.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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