从高等数学看数学之美

摘 要：本文从高等数学的角度，介绍了数学美的四个方面，说明数学是一门优美的学科，数学美的内涵和外延都是极其丰富的。

关键词：简洁美 对称美 统一美 奇异美

数学美蕴藏在数学学科的每一个分支里，高等数学也不例外。在高等数学中，它的概念、公式、理论、结构等，对称和谐，简单新奇，统一协调，构成美学的内容和形式，充满了美的色彩，给人以美的感受。同时，高等数学思维与方法的新颖性、独特性和奇异性等等，都是数学美的具体内容和表现形式。在数学解题过程中，运用数学美的基本形式―――简洁美、统一美、对称美、奇异美，利用数学美的思想方法去发现问题的内在联系，使其与数学问题条件和结论的特点结合，能够取得事半功倍的效果。

1 简洁美。数学的简洁性，是数学美的重要特征之一。一方面，数学以高度抽象、简洁的形式表现了复杂的内容。在高等数学中，我们总能看到符号、定义、公式、定理的简明扼要的叙述。例如：极限定义有简洁美：用简洁的符号?坌ε＞0，?埚δ＞0，当0＜｜x-x ｜＜δ时，恒有｜f(x)-A｜＜δ成立，从而清楚地描述了极限这一概念；牛顿-莱布尼茨公式f(x)dx=F(b)-F(a)形式也很简单，却深刻揭示了微分与积分内在联系的。另一方面，数学又以简洁、清晰的方式处理和解决了复杂的问题。正如数学家荻德罗所说:“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题， 所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答。”在高等数学中，“化繁为简”的思想随处可见。例如：定积分概念的引入，采用了众所周知的“微元法”，其中，在计算曲边梯形面积时，在每个小区间内“以直代曲”；在处理变速直线运动时，在小的时间段内以匀速代替变速；在引入二重积分概念时，在曲顶柱体体积计算中，在每个小区域中以平面代替曲面；在三重积分、曲线积分、曲面积分等问题中都贯彻了“微元法”的运用，都以“线性”的线、面、体去代替非线性的线、面、体，从而使问题的求解变得简单了，可操作了，达到化繁为简的效果。再如，等价无穷小代换在求极限中的应用，也充分体现了化繁为简的理念。又如，在求极限、求积分（一元函数积分、多元函数积分)、求微分方程的解等运算中，常常利用作变量变换来简化运算。

从上面的解题中我们也可以看到简洁的方法带来的美感。

2 对称美。对称性是最能给人以美感的一种形式，从古希腊时代起，对称性就一直被数学家看成是数学美的一个基本内容。对称对于我们来说并不陌生，它是指整体事物中各部分之间的相称、平衡或相适应。同时，对称美在数学研究中有重要作用，它是数学创造与发现的美学方法之一。正如韦尔所说：“对称是一种思想，多少世纪以来，人们希望借助它来解释和创造秩序、美和完善。”在高等数学中，也处处渗透着圆满和自然的对称美。如：线性方程组的克莱姆法则x ；从运算关系角度看：微分与积分，矩阵与逆矩阵……这些互逆运算也可视为“对称”关系。对称美在高等数学里更多地体现在微分、积分、线性代数的运算中。下面将一一举例说明。

（1）在微分中

（2）在积分中

在高等数学中，一些函数图形关于某坐标轴或坐标面对称，求定积分、重积分及线面积分时，根据积分的几何意义，利用被积函数的对称性可简化积分运算。

如：利用函数图像的对称性，简化定积分的计算；

对于三重积分、第一型曲线和曲面积分也有类似结论。

（3）在线性代数中，行列式与它的转置行列式具有对称性，而某些行列式本身就是对称的。在行列式的计算中，利用对称性，也可以起到简化的作用。

3 统一美。数学中的统一性是指部分与部分、部分与整体之间的协调一致，这是一种美的重要特征。数学中一些表面看来不相同的概念、定理、法则，在一定的条件下可以处在一个统一体中。笛卡尔通过解析几何把几何学、代数学、逻辑学统一起来；高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴契夫斯基几何和黎曼几何统一起来了；克莱因（C.F.Klein）用变换群的观点统一了19世纪发展起来的各种几何学（该理论认为：不同的几何只不过是在相应的变换群下的一种不变量）；拓扑学在分析学、代数学、几何学中的渗透，特别是在微分几何种种空间，产生了所谓拓扑空间的统一流形。统一美表现在数学结构上，成为数学美的基本源泉。值得一提的是世界上公认的最优美的公式e +1=0，这个式子将算术中的“1”、“0”，代数中的“i”，几何中的“π”，分析中的“e”神奇地统一在了一起，即它们相会于天桥：e =cosθ+isinθ（在该式中令θ=π就可得到上式），它沟通了三角函数与指数函数之间的内在联系，充分体现了数学的统一美。同时，高等数学中的统一美也随处可见。比如：牛顿―莱布尼兹公式就具有统一美：将微分、不定积分和定积分之间建立了联系；矩阵乘积求逆与转置，则是数学运算所表现的统一的“脱衣规则”；行列式 表示了平面上过点 的直线方程，也体现点、直线方程与行列式的统一美。 在一元积分中，不定积分、变上限积分、定积分这三个数学量之间是对立统一的：变上限积分是不定积分所表示的原函数中的一个，而定积分则是变上限积分中的上限x在给定区间中的某一点的函数值。多元函数的二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分，尽管这些积分运算由于其积分域不同，但可以将其统一表示为∫f(M)dΩ，其表示f(M)在Ω上的黎曼积分；而格林公式建立了平面曲线积分与二重积分的联系，高斯公式建立了曲面积分与三重积分的联系，斯托克斯公式建立了空间曲线积分与曲面积分的联系，它们体现了各种积分运算之间的统一美。

在解决数学问题时，最关键的是把原问题转化为一个更易解决的问题，而实现转化的依据就在于原问题及其转化后的问题在本质上的统一，数学美的统一与和谐能透露出这方面的信息，为实现这种统一指引方向， 为发现解题方法奠定基础。在不定积分的计算题中，凑微分法就是还原思想的运用，也是数学统一性的体现；在证明“在某个区间上，至少存在一点使某式成立”的命题中，对学生来说往往感到比较困难，解此类题的难点在于如何构造辅助函数， 应用微分中值定理求解，当学生学习了积分以后，从微分与积分的关系上来设计辅助函数，即通过寻求原函数来构造辅助函数就显得比较简单。通过做题，学生能体会到微分与积分之间隐蔽而深刻的内在联系，使两个截然对立的概念达到和谐统一，从而感受到数学的统一美。

4 奇异美。数学中的奇异美是指数学研究的形式、表述的结果，无法用任何现有理论给予解释，它表现了数学形式、数学结论的奇异，同样也表现了人们对数学成果所感到的奇异。在高等数学中，曲线上的奇点，微分方程的奇解，线性代数中的奇异矩阵，分析中的奇异积分等所带给我们的美学思考，很值得研究，其中不少奇异之处恰好是最值得注意的地方。数学的奇异性还常常与数学的反例紧密地联系在一起。例如18世纪后期的一些数学家认为，连续函数至少在某些点处可以微分，然而德国数学家魏尔斯特拉斯却在1874年找到了一个处处连续而又处处不可微的函数f(x 其中a是奇数，0＜b＜1，ab＞1 π，这就给人以奇异感； 狄里克莱函数D（x)=1，x为有理数时0，x为无理数时 在实轴上处处有定义，但在实轴上却处处不连续， 这使原有的积分失灵了。这种奇异现象给积分带来了新的生机， 于是就出现了勒贝格积分等。数学中许多新的分支的诞生，往往都是人们对于数学奇异性探讨的结果。由此可见，数学中的奇异现象， 可以使人们的认识深入，思想变得精细、严谨，亦可以使人们冲破旧的数学理论框架，对空间形式和量的关系的认识产生质的飞跃。奇异也往往伴随数学方法的出现而出现。数学解题方法的奇异性，与文学中那种奇峰突起的“神来之笔”相似，想法奇巧、怪异，却令人拍案叫绝，体会到一种奇特的美感。例如：在计算行列式

把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和，问题就迎刃而解了。

因此，在数学解题教学中注入数学美的观点，通过数学问题的解决来点拨深蕴于其中的美的因素和美的思想，可以增强学生学习数学的情趣；同时，在教学中注重美学思想的渗透，能够帮助学生形成正确的思想方法，为解决数学问题提供依据和指导。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2005.

[2]课程教材研究所数学课程教材研究开发中心.数学文化[M].北京:人民教育出版社，2003.

[3]王宪昌.数学思维方法[M].北京：人民教育出版社，2002.

[4]张玉峰，孟爱红.数学美的本质[J].数学教育学报，2006，(8).

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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