待定系数法在初中数学中的应用

【摘 要】要形成数学方法和理论，就少不了要进行解数学题，提高数学解题能力。而要提高数学解题能力，就必须掌握一些常用的解题方法。本文结合一些具体例题，着重介绍待定系数法在初中数学中六方面的具体应用：①待定系数法在因式分解中的应用；②待定系数法在多项式中的应用；③待定系数法在整式除法中的应用；④待定系数法在方程中的应用；⑤待定系数法在部分分式中的应用；⑥待定系数法在求函数解析式中的应用。

【关键词】待定系数法 初中数学 应用

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）09－0161－02

全日制义务教育《数学课程标准》的前言部分提到：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。而要形成数学方法和理论，就少不了要进行解数学题，提高数学解题能力。

有人认为，提高解题能力的途径是多做数学题。这种看法有失偏颇。平时学生能自觉多做一些数学练习题固然很好，但如果只是死记硬背，搞题海战术，只会产生一些短期效应，达不到提高解数学题的能力，更谈不上应用。

不同内容不同形式的数学题，有不同的解题方法。要提高数学解题能力，就必须掌握一些常用的解题方法，例如待定系数法、配方法、换元法等。这些方法作为解题工具使用，会给初中数学的学习带来很大的方便，因此，对这几种数学方法务必做到理解、会用、熟练。本文主要结合待定系数法在初中数学中的应用，说明如何掌握一些常用的解题方法，提高自己的解题能力，以期达到抛砖引玉的作用。

所谓的待定系数法，就是在解决某些问题时，先用某些字母表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题的方法。

一、待定系数法在因式分解中的应用

例1，分解因式：x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3。

分析：所给的代数式是二元二次多项式，分解因式难度较大。由于x2＋2xy－8y2可以分解为（x＋4y）（x－2y），于是，原多项式能够分解成两个一次项乘积的一般形式应为（x＋4y＋m）（x－2y＋n），其中m、n为待定系数。再将上式展开，通过找对应项的系数，确定m、n的值。

解：x2＋2xy－8y2＝（x＋4y）（x－2y）。

x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3＝（x＋4y＋m）（x－2y＋n），其中m、n为待定系数。

上式展开后得到：

x2＋2xy－8y2＋（m＋n）x＋（4n－2m）y＋mn。

，解这个方程组，得 。

x2＋2xy－8y2＋2x＋14y－3＝（x＋4y－1）（x－2y＋3）。

二、待定系数法在多项式中的应用

例2，当m、n为何值时，（x2＋mx＋n）（x2－5x＋7）乘积中不含x2与x3的项。

分析：此类问题只要将多项式相乘后加以整理，使x2，x3项的系数等于零即可。

解：（x2＋mx＋n）（x2－5x＋7）＝x4－5x3＋7x2＋mx3－5mx2＋7mx＋nx2－5nx＋7n＝x4＋（m－5）x3＋（n－5m＋7）x2＋（7m－5n）x＋7n。

欲使乘积中不含x2与x3的项，则：

，解得 ，即当m＝5，n＝18时，乘积

中不含x2，x3的项。

三、待定系数法在整式除法中的应用

例3，当m、n为何值时，多项式x4－5x3＋11x2＋mx＋n能被x2－2x＋1整除？

分析：被除式是四次五项式，除式是二次三项式，根据“被除式＝除式×商式”，可知商式的最高次数应该是2，因此可设商式为x2＋px＋n。再利用各对应项的系数相等或赋予x特殊值，从而得出方程组，解方程组得出结果。

解法一：设商式为x2＋px＋n。

x4－5x3＋11x2＋mx＋n＝（x2＋px＋n）（x2－2x＋1）＝x4＋（p－2）x3＋（n－2p＋1）x2＋（－2n＋p）x＋n。

由各对应项的系数相等，得：

，整理为 ，解得 。

当m＝－11，n＝4时，x4－5x3＋11x2＋mx＋n能被x2－2x＋1整除。

解法二：设商式为x2＋px＋n。

x4－5x3＋11x2＋mx＋n＝（x2＋px＋n）（x2－2x＋1）。

分别令x＝1，x＝2，x＝3，得：

，整理为 ，解

得 。

当m＝－11，n＝4时，x4－5x3＋11x2＋mx＋n能被x2－2x＋1整除。

四、待定系数法在方程中的应用

例4，已知方程x4－9x2＋12x－4＝0中有一个根是1，另一个根是2，求这个方程的其它两个根。

分析：由于所给方程是一元四次方程，它应该有四个根。已知其中两个根，所以代数式x4－9x2＋12x－4含有因式（x－1）（x－2），它还应含有另一个二次三项式。观察x4－9x2＋12x－4最高项x4的系数为1，常数项为－4。因此二次三项式应为（x2＋mx－2），其中m为待定系数。只要确定出m的值，问题便迎刃而解了。

解：设x4－9x2＋12x－4＝（x－1）（x－2）（x2＋mx－2），其中m为待定系数。

令x＝－1，得：

（－1）4－9×（－1）2＋12×（－1）－4＝（－1－1）（－1－2）［（－1）2－m－2］

6m＝18；

m＝3。

x2＋mx－2＝0，x2＋3x－2＝0。

， 。

方程的其它两根为 。

五、待定系数法在部分分式中的应用

把一个分式化成几个分式的代数和，叫做把这个分式分成部分分式。在解这类题的过程中，需要应用待定系数法求解。

例5，化 为部分分式。

解法一：设。

分别令x＝0，x＝3，得：

，即 ， 。

。

解法二：设。

。

，解得 。

。

以上的解法一是赋予x特殊值，得出A、B的方程组，从而求出A、B；解法二是利用对应项的系数相等，得出A、B的方程组，从而求出A、B。

六、待定系数法在求函数解析式中的应用

初中阶段的函数内容主要是学习一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，而对于这些函数的解析式的确定，则是学习函数的一个首要步骤。函数解析式的求法主要是运用待定系数法。用待定系数法求函数关系式的步骤是：第一步：设。优先设好待求函数关系式（其中含有待定的系数），尽量用概念定系数，使待定的系数越少越好。第二步：构。将点的坐标代入关系式，构造待定系数的方程或方程组，或用已知等量关系或几何条件，构造待定系数的方程或方程组。第三步：解。解方程或方程组，求出待定系数的值。第四步：回代。将解出来的待定系数的值代入所设的函数关系式，从而得到所求结果。

例6，已知一次函数的图象经过A（2，1）和B（－1，3）两点。求这个一次函数的解析式。

解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0），其中k，b为待定系数。

将A（2，1）和B（－1，3）两点的坐标代入到上面的解析式，得：

，解得 。

所求的一次函数的解析式为： 。

例7，已知：抛物线顶点的坐标为（3，－1），它与y轴上交点的纵坐标为－4。求这个二次函数的解析式。

分析：求二次函数的解析式时，如果设解析式为y＝ax2＋bx＋c，由于有三个待定系数，需有三个方程去组成方程组，才能使得问题得到解决。由已知中图象与y轴上交点的纵坐标为－4，即抛物线与y轴的交点为（0，－4），这算一个点。而由抛物线顶点，其中包含两个条件，于是问题可解。

另一种考虑的方法是利用顶点式y＝a（x－h）2＋k，其中（h，k）为顶点坐标。

解法一：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）。

依题意，得：

，解得 。

所求的二次函数的解析式为 。

解法二：设二次函数的解析式为y＝a（x－h）2＋k，其中（h，k）为顶点坐标。

抛物线的顶点坐标为（3，－1）；

y＝a（x－3）2－1。

又（0，－4）是函数图象上一点；

－4＝a（0－3）2－1。

9a＝－3， 。

所求的二次函数的解析式为 ＋

2x－4。