待定系数法在解非齐次线性微分方程组上的应用

长期以来，人们在探讨这样一个问题，即当f(t)具有特殊类型时，怎样用待定系数法求出非齐次线性微分方程组x'=Ax+f(t)的特解，但是没有取得成功。本文将给出关于这种方法一个比较圆满的回答，它不仅为特殊类型非齐线性微分方程组求解拓宽了渠道，又给解决实际问题带来了方便。

非齐线性微分方程组

x'=Ax+f(t)(1)

满足初始条件φ（t0）=η的解，由公式

φ（t）=exp［(t-t0)A］η+∫tt0exp［(t-s)A］・f(s)ds(2)

给出，这里

如果我们知道方程组（1）的一个特解φ（t），则方程组（1）满足初始条件的解就可以写成

φ（t）=exp［（t-t0）A］η+φ（t）.(3)

下面介绍当f(t)具有某些特殊型式时怎样求出特解。

引理［1］若方程（1）中矩阵A的互异特征根为λ1，λ2，…，λl,重数分别为n1,n2,…,nl,(n1+n2+…+n1=n),则有非奇异矩阵T（T为n×n阶矩阵），使得

exp［（t-s）A］=T［exp(t-s)J］T-1，其中J具有约当标准型，即有

矩阵空白处元素均为零。

定理1：方程组（1）当f(t)=(bmtm+…+b1t+b0)eat时有型如

φ（t）=∑m+k-1i=0citieat(4)

的特解。其中bj,ci,(j=0,1,2,…,m;i=0,1,…,m+k-1)分别为维列向量，

k=max(n1,n2,…,nl)

证明：显然φ（t）=∫tt0exp［（t-s）A］・f(s)ds是方程组（1）的特解。由引理及f(t)的形式有exp［（t-s）A］・f(s)=T［exp（t-s）J］T-1・f(s),即

其中dnik为ni维列向量(i=1,2…,l)所以

定理2：方程组（1）当f(t)=［A(t)cosβt+B(t)sinβt］eat时有型如

φ（t）=eat［P(t)cosβt+Q(t)sinβt］. (5)

的特解［其中P(t),Q(t)是次数为k+m-1的实系数多项式，αβ为常数，A（t）,B(t)是多项式，次数一个m次，另一个不超过m次］.

证明：由定理1的证明知道，当α不是实数，而是复数时有关结论仍然正确。现将f(t)表示为指数形式

f(t)=A(t)-iB(t)2e(a+iβ)t+A(t)+iB(t)2e(a-iβ)t,

则根据非齐线性方程的叠加原理，直接利用定理1的结果有

φ（t）=∑k+m-1I=0CItIe(a+iβ)t

eat［∑k+m-1I=0（cI+bI）tIcosβt+i∑k+m-1I=0(cI-bI)sinβt］.

令∑k+m-1I=0（cI+bI）tI=P(t) i∑k+m-1I=0(cI-bI)tI=Q(t)，则φ（t）=eat［P（t）cosβt+Q(t)sinβt］

由于A（t）-iB(t)与A(t)+iB(t)共轭，根据定理1的证明过程可知∑k+m-1I=0cIti与∑k+m-1I=0bItI共轭，所以P(t),Q（t）为实系数多项式，可见定理2成立。

例1：求方程组x'=0 1 -11 1 0 1 1x+１-tt-t2-1+2t-t2的一个特解

解: |λI-A|=λ(λ-1)2,m=2 k=2,k+m-1=3

设φ（t）=α1α2α3+β1β2β3t+γ1γ2γ3t2+ω1ω2ω3t3 代入方程组得

整理方程组得α1α2α3=000=β1β2β3=10-1，

γ1γ2γ3=011=ω1ω2ω3=000

故方程组的一个特解为φ（t）=tt2t2-t

例2：求方程组 x'=3 5-5 3x+e-t0的特解

解：|λI-A|=(λ-3-5i)(λ-3+5i) k=1,m=0,k+m-1=0

设φ（t）=αβe-t代入方程组得-α-β=3α+5β+1-5α+3β解得β=-541，α=-441

故方程组的解是φ（t）=-441 541e-t

参考文献

［1］ 叶彦谦.常微分方程讲义,人民教育出版社.

［2］ 中山大学数力系.常微分方程，人民教育出版社.