时间：2022-09-29 10:41:55
待定系数法英文名称为undetermined coefficients 它是一种求未知数的方法。一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。如果我们的学生能掌握这种待定系数法在数学中的灵活应用，对我们解题思维，解题速度，解题方向都很有帮助。下面就让我们一起体会一下：
待定系数法在我们求不等式的取值范围中的灵活应用
我们在解不等式时，若给定 ，求 或 或 等等这些都是比较容易完成的题目，可以直接利用我们数学中的 ，则有 这不等式的基本性质就可以完成，但我们对于稍微复杂一点，不能直接用我们的不等式性质完成的题目，我又该如何解答呢，例如：例：已知 且 ，求 的取值范围。这个题目，我们首先想到的是把不能直接去求解 和b的范围求解出，再利用我们的数学中不等式的基本性质完成就可以了。但是，就这个求 和b的范围是非常复杂的过程，花费的时间是不用说的，说不定有点题目到最后我们还求不出来呢。这时我们就要想想是否有别的方法可以完成，我们不妨试试我们的待定系数法。我们可以保持 和 范围的完整性，能不能把 分解成 与 的和或者差的问题呢，如果能我们就可以用不等式的 则 把这个问题解决了。具体来看看详细的解答过程。
例1：已知 且 ，求 的取值范围。
解：设
由等式的性质得 化简得
，
两式相加，得
并不是所有的不等式都可以写成 与 的和或者差来解决，但是待定系数法的解题精髓是不变的，例如以下的例题。
例2：设x，y为实数，满足 ，则 的最大值是 ①
解法一：设 ， ，
又 ，
两式相乘，得 即 最大值为27
小结：解法一的方法比较简单，但仔细的看看后不难发现它要求我们的观察能力要非常强的，解答过程不复杂，但对于 能得出的要求是非常高的，这时我们就不防试试我们的待定系数法了。
解法二：设 化简整理得
解得
两式相乘，得
即2 27，即 最大值为27
小结：本题可以很轻松的找到 的分解式，但是在设已知条件时我们容易设成 ，这样就是由几个相加得到，而实际上应该是由几个xy2相乘再与几个 相乘最后再相乘得到。
二、待定系数法在数列中的应用
当我们在数列中遇到 （其中x，y，c均为常数R）这种形式时，我们要想办法构造成一个新的等比数列，但是往往我们凭感觉是比较难构造出的，这时我们可以借助于我们数学中的待定系数法来完成，构造就能很轻松的完成。我们可以设 把这个式子展开整理得 与原式 比较得 这样就很容易得出了我们新构造的等比数列了。
例3：数列{an}的前n项和为Sn，若an+Sn=n，cn=an-1，求证：数列{cn}是等比数列。
证明： ①
又 ②
②-①，得 即
设 展开整理得
与 相比较得M=-1
即
三、待定系数法在三角函数中的应用
待定系数法在三角函数中的应用有时也起到了关键的作用，当无法直接去求一个角的值时我们可以采用设定一个系数，通过对代数式的转化，从而求出系数，进而帮助我们解决三角函数中不能直接求值的问题。下面我们用实例看看待定系数法在三角函数中的具体应用。
例4：已知 ， ，求
分析：此题如果想直接求 和 的值，是无法完成的；所有要对 进行转化为 和 ，但是对于我们用肉眼去观察是很难看出他们的系数关系，所有我们可以借助于待定系数法来完成这关键的一步。
解：
，
cos2 =2cos2 -1=
sin2 =2sin cos =
设 =
展开整理可得
=2 -
=cos[2 - ]
=cos2 cos +sin2 sin
=
=
四、待定系数法在解析几何中的应用
待定系数法在解析几何中的应用主要是求指名曲线的方程，它也是求曲线的一个重要方法。解析几何中的运算量是非常大的，未知量也是非常多的，有的时候我们就无从下手了，但如果我们适当的设一些中间变量，然后再找到他们之间的关系，这样我们的问题就相对比较明了了。不仅可以把复杂的问题简单化而且还可以减少运算量。
例5.双曲线两条渐近线的方程是 ，它过点M（ ），求此双曲线方程。
分析：将渐近线方程两边平方，得 ，它与原渐近线方程等价，若令 （ 为参数），则其方程表示渐近线为 的双曲线系，从而可作为待定方程， 则为待定系数。
解：由 ，得 ，令 （ 为参数）则因所求双曲线过点M（ ），故有
所求双曲线的方程为
说明 由以上例题可以看出，待定系数法其实就是参数法，以往待定系数就是参数，其作用也是沟通变量的联系，不够表现形式有所不同而已。
五、待定系数法在函数中的应用
函数是我们从初中就开始接触的，而到了高中函数又是重中之重，处处都有函数，可以说是函数贯穿了我们整个高中数学。待定系数法在函数中的应用更上广泛，可以利用它节一次函数，二次函数，常用函数等等，可以帮助我们思考，可以减少解题的步骤，提高解题速度。
例6.已知函数y= 的最大值为7，最小值为-1，求此函数式。
分析：求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
解：函数式变形为：（y-m）x2-4 x+（y-n）=0，x∈R，由已知得y-m≠0
=（-4 ）2-4（y-m）（y-n）≥0 即：y2-（m+n）y+（mn-12）≤0 ①
不等式①的解集为（-1，7），则-1、7是方程y2-（m+n）y+（mn-12）=0的两根，代入两根得： 解得： 或
y= 或者y=
此题也可由解集（-1，7）而设（y+1）（y-7）≤0，即y2-6y-7≤0，然后与不等式①比较系数而得： ，解出m、n而求得函数式y。
小结：在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用≥0，建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
可见，待定系数法在我们的数学中的应用是非常广泛的，它不仅可以用来解决我们初中知识的一次函数，二次函数的问题，对于我们高中的不等式，三角函数，数列等也都可以用它来帮助我们解决棘手的问题，所以学好待定系数法并能灵活的用好它，对我们的数学是很有帮助的。
六、待定系数法在最值中的应用
例7.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。
【解】 依题意，矩形盒子底边边长为（30-2x）cm，底边宽为（14-2x）cm，高为xcm。
盒子容积 V=（30-2x）（14-2x）x=4（15-x）（7-x）x，
显然：15-x>0，7-x>0，x>0。
设V= （15a-ax）（7b-bx）x（a>0，b>0）
要使用均值不等式，则
解得：a= ，b= ，x=3。
从而V= （ - ）（ - x）x≤ （ ） = ×27=576。
所以当x=3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm3。
【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V= （15a-ax）（7-x）bx 或 （15-x）（7a-ax）bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。
设V= （15a-ax）（7b-bx）x（a>0，b>0）
要使用均值不等式，则
解得：a= ，b= ，x=3。
注：①选自2010年江苏高考，12题
参考文献：
[1]《高中数学精讲 思路方法》 顾越岭主编 江苏教育出版社