待定系数法在分解因式中的应用

【摘要】多项式的因式分解是一项重要的基本技能训练。在分式的运算，解方程和各种恒等变换中都要经常用到因式分解，用待定系数法分解因式是数学教学中的一个重要方法，用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

【关键词】多项式的因式分解；方法

Treat to settle a coefficient method in the decomposition because of the type of application

Zhang Dechang

【Abstract】Polynomial of resolve because of the type is an importance of basic vocational training.At cent type of operation, solution square all want to usually use in the transformations such as distance and various Heng etc. because of type resolve, use to treat settle coefficient method resolve is in mathematics teaching because of the type of an importance method, use to treat settle coefficient method resolve because of the type be first press have already know a condition pair of original type assumption become some because of type of connect product, these can first mean with the letter of alphabet because of the coefficient in the type, their value is to need to be settle, because of these because of type of connect product with original type Heng etc., then according to Heng etc. principle, establishment treat settle coefficient of square distance set, end solution square the distance set can immediately beg to treat settle coefficient of value.

【Key words】Polynomial of resolve because of the type;Method

多项式的因式分解是一项重要的基本技能训练。在分式的运算，解方程和各种恒等变换中都要经常用到因式分解，用待定系数法分解因式是数学教学中的一个重要方法，用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。

例1 把x2-y2+3x-y+2 分解因式

分析：如果x2-y2+3x-y+2 能分解因式，我们只须先考虑二次项x2-y2 ，因为此多项式要分解因式只能分解成两个一次多项式的乘积。即是，（x+y）（x-y）的形式，现在只需考虑常数项。

设 x2-y2+3x-y+2=（x+y+a）（x-y+b）

由多项式乘法得

上式=x2-y2+(a+b)x+(b-a)y+ab

比较多项式与原多项式的系数得下列方程组。

a+b=3 ①

b-a= -1 ②

ab=2③

解方程组 将①+②得 b=1

把 b=1代人③得 a=2

所以方程组的解为a=2

b=1

故原多项式分解因式为：

X2-y2+3x-y+2=(x+y+2)(x-y+1)

例2 分解因式 （x-y)3+(y-z)3+(z-x)3

解 原多项式是一个轮换式

当x=y时，原式=（y-y)3+（y-z)3+（z-y)3=0

因此有因式（x-y)(y-z)(z-x)

不妨设（x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=k（x-y)(y-z)(z-x)

令x=1 y=2 z=0

得 6=k•2所以 k=3

故（x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=3（x-y)(y-z)(z-x)

例3 把x3+x2-x-1分解因式

解:此多项式如果能分解因式，只可能分解成一个二次因式与一次因式的乘积的形成

故设原式=（x2+ax+b)(x+c)由多项式的乘法法则，得

上式=x3+(a+c)x2+(b+ac)x+bc

与原多项式比较系数得方程组

a+c=1 ①

b+ac=-1 ②

bc=-1③

解方程组 由①得 a=1-c ④

由 ③得b=-1/c ⑤

c≠0

将④⑤同时代入②得

C3-c2-c+1=0 即（c+1)（c2-2c+1）=0

解得c1= -1c2= 1

代入方程组得

a=2 b=1 c=-1

a= 0

b=-1

c=1

分别将两组解代入原多项式都成立

即 原式=（x+1）2（x-1）

小结：待定系数法解题的步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程组；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

练习：

4x2-4xy+y2-2x-5y-6

x2+2xy+y2+6x+6y+8

x3-3x2-8x-10

x5+x+1

x3+y3+z3-3xyz