用待定系数法求三角函数最值

摘 要：待定系数法，是中学数学中的一种重要求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出对应系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

关键词：待定系数法；三角函数；最值求解

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）14-274-02

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，其解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，转化为方程组来解决。使用待定系数法解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

1、利用对应系数相等列方程；

2、由恒等的概念用数值代入法列方程；

3、利用定义本身的属性列方程；

4、利用几何条件列方程.

要判断一个问题是否可用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达式，所以都可以用待定系数法求解，在此不一一列举说明。下面主要谈一下待定系数法在求三角函数最值中的一种应用。

求三角函数的最值方法众多，常用的方法有：

1、配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；

2、化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；

3、数形结合法（常用到直线斜率关系）；

4、换元法（如万能公式，将三角函数问题转化为代数问题）；

5、均值不等式法.

在用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件.从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实是既“活”又“巧”的问题。对此问题，现举几例来探析利用待定系数法求三角函数的最值。

例1：设x∈（0，π），求函数 的最小值.

解析：拿到此题，很容易想到下面的解法.因为sinx>0，所以 ≥ = ，故ymin= 。显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件.由 得sinx= ，这样的x不存在，故为错解。

事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0

将λ=1代入，得ymin=3.

例2：求函数 的最小值.

解析：易得 由均值不等式得 但 ，故上式不能取等号.

于是引入待定正实数 ，则有 当且仅当 且sin22x=1时等号同时成立，此时 ，所以当sin22x=1时，y有最小值为 .

例3：当x∈（0， ）时，求函数 的最小值。

解析：因为x∈（0， ），所以sinx>0，cosx>0，引入大于零的待定系数k，

则函数 可变形为

+kcos2x-k≥3 + -k=12 ，

等号成立当且仅当 ，时成立。

由sin2x+cos2x=1，。得 ，即k2=64，又k>0，所以k=8。

故函数y的最小值为 ，此时x= 。

例4：设x∈（0， ），求函数y=sinx+ 的最小值。

解析：因为x∈（0， ），所以sinx>0，y=sinx+ 可变形为 。由均值不等式得 。但 ，故上式不能取等号。下面引入待定系数k进行配凑解之。

因为x∈（0， ），

所以sinx>0。

因为

故 ≥ ，

等号当且仅当 且sinx=1，

即k= 时等号同时成立。从而 ，故函数y=sinx+ 的最小值为2。

三角函数的最值都是在给定区间上的，因而特别要注意题设中所给的区间，同时三角函数求最值时，一般都要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及函数的有界性。下列两题供读者练习：

1、设x∈（- ， ），求函数 的最小值。

2、设x∈（0， ），求函数 的最小值。

（上接第270页）定要争气》后，学生质疑：谁要争气？为什么要争气？怎样争气的？

其次是给学生提供独立思考的机会。再次要重视理论与社会、科学和生活实际的联系，用所学的知识去分析解决现实生活中与人类生存密切相关的各个方面的问题，在探究发现新的问题，探究解决的方法，进而达到善问的目的。

四、传授方法，让学生寻疑有方

培养学生质疑能力要教给学生自学的方法，学会质疑的方法。质疑的方法很多，我尝试的是引导学生在阅读过程中对三处、三点进行三个层次质疑。这三处为：⑴不理解、不明白的地方要质疑；⑵似懂非懂的问题要质疑；⑶容易混淆、容易忽略的细节要质疑。这三点为：⑴对题目要质疑；⑵对篇章结构要质疑；⑶对写法要质疑。这三个层次为：设问性质疑、推敲性质疑和疑难性质疑。其中设问性质疑也就是自问自答式质疑，这类疑问实质上是学生自己选定自学的方向，通过自学解决。例如，初读课文时，对字词、课文内容的疏通性质疑。推敲性质疑就是学生对上文所提到的三处、三点的 自学研究，此时学生往往会在所读文章中做出记号，并试图解疑，形成自己的观点，其中有一部分疑问将会因自己无法解答而成为疑难性质疑。需要指出的是，这三次质疑中的前两次提出的疑问并不一定是学生不懂的，而是要求学生自我设疑、存疑，学习在似乎无疑之处产生疑问。经过这一番寻疑之后提出的疑，大多是有价值的、是教师课堂教学的重点和难点。学生找到了这些解不开的疑，心理上就产生了适度的焦虑，上课时就能更好地听老师讲解，这寻疑的过程事实上也就是学生自能读书的实践活动，寻疑有方，无疑是语文学习能力提高的标志。比如：我教《跳水》一课时，安排学生在课堂中进行预习性尝试阅读，学生先后提出下列问题：为什么船长用枪逼着儿子跳水、课文中‘他是船长的儿子’一句，为什么要用括号、文章最后一段‘四十秒钟’后面为什么要用破折号、课文写孩子气急了，为什么一处用‘急’，一处用‘极’、文章为什么以《跳水》为题从这些问题中，我们可以看出学 生的学习水平。其中第一问对于有些语文能力强的同学来说，属于设问性问题，已在自学中能解决了；第四问可归于推敲性疑问，只要稍加点拨学生也能解答；其余几句，则在精读课文时，老师要注意讲解。只要坚持训练学生进行三处、三点、三次质疑，学生定会在实践中学会寻疑的方法，掌握开启知识大门的钥匙。

“学起于思，思源于疑”。质疑最能调动学生读书，思索，答问的积极性，发展学生的创新思维能力，真正使学生成为学习的主人。总之，学生主动质疑问难，是激发学生学习兴趣的良机，是学生探究课文内容的开端，是启迪学生创新思维的一个途径，我在教学中努力地培养学生质疑问难的能力收到了事半功倍的教学效果。

（上接第271页）

冬之色为冷的白，如冰雪，如天云，孕育着新的生命力。

冬之色为死的灰，如草木，如泥土，宣告旧生命的终结。

还可以设计各种形式的小练笔，如《说说你眼中的夏天》，《谈谈你心中的老师》，《我与丑小鸭》，《我与名人同行》等等。通过这样的训练，可以丰富学生语言的感悟及表达，有助于调动学生学习语文的兴趣。

“导―读―悟―赏―练”五字课堂教学模式只是我在教学实践中的一种尝试，还需不断去实践去完善。

初中语文教学，不应该片面追求阅读教学和写作教学的突破，而忽视了对语基于语文知识的学习和掌握，要在“读、悟、赏、练”的过程中，进一步夯实学生语文知识基础，不断提高学生语文素养。