例析v―t图象的应用

运动问题是高中物理的基本问题，是整个动力学和其他知识的基础.运动现象普遍与实际生活紧密相联.因此它一直是高考命题的热点.解决这类问题时，如果在弄清运动过程的基础上，画出v―t图象，不仅能使过程直观明了，而且能避繁就简，简化运算，起到事倍功半之效.

1.直观展示运动过程

例1短跑名将博尔特在北京奥运会上创造了100 m和200 m短跑项目的新世界纪录，他的成绩分别是9.69 s和19.30 s.假定他在100 m比赛时从发令到起跑的反应时间是0.15 s，起跑后做匀加速运动，达到最大速率后做匀速运动.200 m比赛时，反应时间及起跑后加速阶段的加速度和加速时间与100 m比赛时相同，但由于弯道和体力等因素的影响，以后的平均速率只有跑100 m时最大速率的96%.求：

（1）加速所用时间和达到的最大速率.

（2）起跑后做匀加速运动的加速度.（结果保留两位小数）

解析根据题意画出博尔特在参加100 m和200 m短跑比赛的v―t图象，如图1所示，其中OABC是100 m比赛的v―t图线，OABEF是200 m短跑比赛的v―t图线.从图象上能够一目了然的看出博尔特在短跑过程中速度随时间变化的情况.

依据图象很容易得下列方程：

1D2（t2―t1）vm+（t3―t2）vm=s1，

1D2（t2―t1）vm+（t4―t2）×0.96vm

=s2，

将t1=0.15 s，t3=9.69 s，t4=19.30 s，s1=100 m，s2=200 m代入上述方程解得

vm=11.24 m/s，t2=1.44 s.

加速时间Δt=t2―t1=1.29 s，

起跑后做匀加速运动的加速度

a=vm―0DΔt=8.71 m/s2.

2.简化复杂代数运算

例2甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变.在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半.求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比.

解析根据甲乙两辆汽在两段相同时间间隔内的加速度关系画出它们的v―t图象，如图2所示.其中甲的图线是OAC，乙的图线是OBC.

连接AD，AF，得到7个三角形，它们分别是OAG，OAB，CAB，ACD，ADE，AEF，FAG，这7个三角形等底同高，面积相等.

在这两段时间间隔内，甲走过的总路程是5个三角形的面积，乙走过的总路程是7个三角形的面积，所以s甲Ds乙=5D7.

3.形象剖析最值问题

例3要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段 半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用用而偏出车道，求摩托车在直道上行驶所用的最短时间.

启动加速度a1D4 m/s2制动加速度a2D8 m/s2直道最大速度v1D40 m/s弯道最大速度v2D20 m/s直道长度sD218 m解析解题关键是分析出摩托车用什么样的行驶方式才能使运动时间最短.

假设摩托车先加速到某一速度后立即做减速运动，画出它的v―t图象，如图3中OAB图线，从图3很容易看出：只要中途有匀速运动，无论速度偏大还是偏小，所需总时间均偏大.所以只要图象中的v小于v1，这种运动方式对应的时间就应该最短.根据两段位移之和等于直道长度，有

v2D2a1+v2―v22D2a2=s，

解得v=36 m/s

故这种运动方式对应的时间最短.

t=vDa1+v―v2Da2=11 s.

拓展根据前面的分析可以看出：直道长度决定着加速运动的最大速度.如果加速运动的最大速度达到v1，则直道长度为

s0=v21D2a1+v21―v22D2a2=275 m.

反过来如果直道长度s>s0，那么时间最短对应的运动方式就是图3中的t4对应的图线.

【作者单位：（224400）江苏省阜宁中学】