时间：2022-09-07 02:06:20
当已知三角形的两边和其中一边的对角求三角形的个数时，可能会出现无解、一解、两解的情况.一些书上（如人民教育出版社《优化学案・必修5》）以表格的形式给出一组结论，对号入座，即可知解的情况.但这些结论不易记忆.实际上可以通过看、算、作图，至多三步解决问题.
第一招：看
若条件不满足以下两个常识性的结论，则此三角形不存在：
（1）A+B+C=π，A+B
（2）a>bA>BsinA>sinB.
例1在ABC中，若a=3，b=2，B=120°，判断解三角形时是否有解，若有解，有几解？
解析因为a=3，b=2，
所以a>b，A>B=120°，
所以A+B>240°.
故满足条件的三角形不存在.
说明这里说的看（或称为观察），是指看看有无明显矛盾的条件.
第二招：算
若无明显的矛盾，则利用正弦定理，计算出三角形的另一内角.
例2在ABC中，若a=3，b=6，A=60°，判断解三角形时是否有解，若有解，有几解？
解析由正弦定理aDsinA=bDsinB，
解得sinB=6D2>1.
故满足条件的三角形不存在.
例3在ABC中，若a=3，b=2，A=120°，判断解三角形时是否有解，若有解，有几解？
解析由正弦定理aDsinA=bDsinB，
解得sinB=2D2，B=45°（B=135°舍去，否则A+B>255°），
所以满足条件的三角形只有一个.
说明由条件计算出另一内角B的三角函数值，若sinB>1，直接判断三角形不存在；若sinB为某一特殊值，则求出角B，再结合两个基本常识，判断出三角形的个数.
第三招：作图
当计算出的结果不像上面例题那样特别，此时需要再作出函数y=sinx，x∈（0，π）的图象.
例4在ABC中，若a=4，b=5，A=30°，判断解三角形时是否有解，若有解，有几解？
解析由正弦定理aDsinA=bDsinB，
解得sinB=5D8∈（1D2，1），
如图1，有两个角B1、B2满足sinB=5D8，
且A
所以满足条件的三角形有两个.
例5在ABC中，若a=5，b=4，A=60°，判断解三角形时是否有解，若有解，有几解？
解析由正弦定理aDsinA=bDsinB，
解得sinB=23D5
对于角B1，有B1
且A+B1
对于角B2，有B2>A=60°，
而A+B2>180°，故B2舍去.
所以满足条件的三角形只有一个B1.
例6在ABC中，A=45°，a=2，b=x，（1）若解三角形ABC时有两解，求x的范围；（2）若解三角形ABC时只一解，求x的范围；（3）若三角形ABC不存在，求x的范围.
解析由正弦定理aDsinA=bDsinB，
解得sinB=2xD4.如图3.
（1）当2
角B有两解，故满足条件的三角形有2个；
（2）当0
（3）当x>22或x
sinB>1或sinB
所以不存在满足条件的三角形.
四、练习
1.在ABC中，若A=120°，a=57，b=8，则这样的三角形ABC的个数为.
答案不存在（b>a，B>A=120°）.
2.在ABC中，若A=45°，a=6，b=4，则这样的三角形ABC的个数为.
答案不存在（sinB=23D3>1）.
3.在ABC中，若a=7，b=5，A=80°，判断解三角形时是否有解，若有解，有几解？
答案由正弦定理aDsinA=bDsinB，
解得sinB=5D7sin80°
由图（图略）可知，仅有一锐角B，满足B
4.满足C=60°，c=14，b=10的三角形ABC的个数为.
答案1.sinB=53D14
5.满足B=30°，b=3，c=4的三角形ABC的个数为.
答案2（sinC=2D3，结合图象）.
6.在ABC中，如果A=60°，c=4，23
A.两解B.一解
C.无解D.无穷多解
答案C.
由正弦定理aDsinA=cDsinC，
解得sinC=23Da，
因为23
所以C>A，23Da∈（3D2，1），
即sinC∈（3D2，1），由图象可知，选C.