自我检测之圆锥曲线

椭圆及其性质

1． （2012上海文16）对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（ ）

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

2． （2012全国大纲卷理3、文5）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=－4，则该椭圆的方程为（ ）

3． （2012全国新课标卷理4、文4）设F1，F2是椭圆E：■+■=1（a>b>0）的左、右焦点，P为直线x=■上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

4． （2012四川文15）椭圆■+■=1（a为定值，且a>■）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A，B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______．

5． （2012江西理13）椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2． 若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为___________．

双曲线及其性质

6． （2102福建文5）已知双曲线■－■=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（ ）

7． （2012湖南理5）已知双曲线C：■-■=1（a，b>0）的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）

8． （2012全国新课标理8、文10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，AB=4■，则C的实轴长为（ ）

9． （2012全国大纲卷理8、文10）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2=2的左、右焦点，点P在C上，PF1=2PF2，则cos∠F1PF2等于（ ）

10． （2012江苏8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线■－■=1的离心率为■，则m的值为______．

11． （2012辽宁文15）已知双曲线x2－y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则∣PF1∣+∣PF2∣的值为__________．

12． （2012天津文11）已知双曲线C1：■-■=1（a>0，b>0）与双曲线C2：■－■=1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（■，0），则a=________，b=________．

抛物线及其性质

13． （2012四川理8、文9）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y■）． 若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM等于（ ）

14． （2012安徽理9）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若AF=3，则AOB的面积为（ ）

15． （2012重庆理14）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB=■，AF

曲线与方程

16． （2012山东文11）已知双曲线C1：■-■=1（a>0，b>0）的离心率为2． 若抛物线C2：x2=2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（ ）

17． （2012山东理10）已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率为■． 双曲线x2－y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ）

圆锥曲线的综合问题

18． （2012福建理8）已知双曲线■－■=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）

D． 5

19． （2012安徽文20）如图1，F1，F2分别是椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）已知AF1B的面积为40■，求a，b的值．

20． （2012广东文20）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：■+■=1（a>b>0）的左焦点为F1（－1，0），且点P（0，1）在C1上．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．

21． （2012全国新课标卷理20）设抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.

（1）若∠BFD=90°，ABD的面积为4■，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

22． （2012湖南理21）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在圆C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．

（1）求曲线C1的方程；

（2）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D． 证明：当P在直线x=－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

23． （2012山东文21）如图2，椭圆M：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．

（1）求椭圆M的标准方程；

（2）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求■的最大值及取得最大值时m的值．

24． （2012江西文20）已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足■+■=■·（■+■）+2．

（1）求曲线C的方程；

（2）点Q（x■，y■）（-2

25． （2012江苏19）如图3，在平面直角坐标系xOy中，椭圆■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）． 已知（1，e）和e，■都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．

①若AF1－BF2=■，求直线AF1的斜率；

②求证：PF1+PF2是定值．

26． （2012湖北理21）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足DM=mDA（m>0且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（2）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H． 是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．