浅谈数列教学中渗透函数思想

【摘要】：数列是高中数学中学生较难掌握的内容之一。在教学实践过程中，如何引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，从而更能有效地培养学生的思维品质和创新意识。本文试说通过在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题。这不失为一种有效教学的好做法。

【关键词】：数列；渗透；函数思想

[Abstract]: sequence is one of the high school mathematics is difficult to grasp the contents of middle school students. In the process of teaching, how to guide students to study the series of problems use function, problems are more innovative and comprehensive can make one column, which can effectively cultivate students' thinking quality and innovative consciousness. This paper tries to solve the series of problems by the said, should make full use of relevant knowledge function, to the function concept, image, as the link bridge between nature, function and series, reveal the inner link between them, so as to effectively solve the series of problems. It is a good practice of effective teaching.

[keyword]: series; permeability; function

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）

在人教A版（必修5）课本中第29页写道：“数列可以看成是以正整数集（或它的有限子集｛1，2，…，n}）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。”即数列是一个定义在正整数集（或其子集）上的特殊函数。从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识。因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题。

一、数列通项公式、求和公式与函数关系

通过对数列中的通项公式以及前n项和公式等这些特殊的函数关系的概念理解与分析，引导学生充分认识，和n的对应关系，从而利用概念，鼓励学生主动探究，挖掘出数列通项公式、求和公式与函数的内在联系，使学生知识系统化，培养学生数学整体意识，用联系发展的眼光学习数学。在教学实践过程中，通过学生的自主学习，发挥他们的主体作用，归纳出数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n

项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例1：等差数列中，，则

分析：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如下），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例2:等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？

分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，，则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，最大。

例3：等差数列和等比数列首项均为1，且公差不等于1，公比，则集合{(n,an)|}一定含有元素

分析：等差数列，由于首项为1，即，所以它的图像是必过（1，1）的一条直线，而等比数列首项为1，公比为q，，故，它表示指数函数图像向右平移一个单位得到，必过（1，1），所以此集合中必定含有元素（1，1）。

二、构建函数，揭示数列本质

新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法。而学会构建函数，一方面体现了学生在学习过程中的体验、思考与参与，另一方面也培养了学生的思维品质和创新意识。在构建函数之后，我们需要利用函数的概念和性质来解决问题。函数基本性质包括了奇偶性、单调性、周期性，最值性等等。在数列学习中渗透函数思想，不仅可以进一步巩固函数知识，而且可以拓宽学生解决数列问题的视野。

1、构造具体函数，成功“转化”

例4:递增数列，对任意正整数n，恒成立，求

分析：构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立，设，则只需求出的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：。

构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，，得

例5：数列通项,前30项中最大项和最小项分别是(C)

ABCD

分析:构造特殊函数，将数列通项整理，“脱去外衣”（分离常数），得.该函数图象是经过坐标轴平移后的反比例函数图像（如图）。根据函数图像特点,判断出答案应选(C).

2、构造抽象函数，成功“突围”

例6：已知数列满足，，则

分析：因为不清楚数列的具体类型，所以仅仅利用数列的知识不容易解决，而此时我们从函数视角去考虑，就容易联想到函数的周期性。

令，则

那么函数满足①，则②，①+②，得，则，即函数周期为12

…+…+=…-…-=0

所以……=……+===

3、数列应用题中构造函数，成功“解决”

数列知识本身就是来源于实际问题，又被广泛应用于实际问题，带有情境的数列问题，不仅可以考察学生的综合能力，而且可以考察学生解决实际问题的能力。

例6：在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？

分析：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月工资数分别为

其中

问题是该人在A公司比在B公司工资每月高出部分的最大值

故需要比较和

可设

所以问题转化为研究函数最大值

因为当时

即

所以当时，单调递增，而当时，单调递减，因而当时，有最大值（计算器算出）。

故此人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出827元。

通过对以上实例的研究和分析，笔者发现，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用。因此，在教学实践过程中，教师应创设恰当的情境，让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在感悟的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法，理解用函数思想解决数列问题的本质。当学生理解并掌握之后，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决多种数列问题。同时，我们的学生的知识网络能够得以不断优化与完善，思维丰富并发散，对知识的掌握与运用能够驾轻就熟。