“变教为学”应重视数学术语的习得

在小学三年级的“面积和面积单位”的数学课上，教师为学生设计了一些活动任务，仔细分析活动过程中学生们的对话，可以发现学生对于数学术语及数学概念学习的困惑。

一、对“面积”的描述无从下手

在“变教为学”开门见山式的活动单上，任务一要求学生比较学具袋中的两个纸片面积的大小（如图1），可以借助学具摆一摆，并把自己的想法讲给组员听。

图1 纸片学具示意图

在活动和汇报过程中，出现了多种解释。第一种：长方形的长是正方形的两倍，所以长方形的面积大于正方形面积;第二种：长方形的长是正方形的两倍，正方形的宽是长方形的两倍，所以它们的面积一样大;第三种：通过平铺“小正方形”，得出了面积相同的结论;第四种：长方形的长是8厘米，正方形的边长是4厘米，用8÷4=2，所以它们的面积一样大。对于这种方法，有同学提出质疑：8÷4=2这个算式的意义是什么？为什么要这样做？然而对方却哑口无言，给不出更多的解释。同样通过平铺进行验证的其他同学，也只能表述出两个图形具有相同个数的“小正方形”。带着这些解答及困惑，学生阅读了任务二：你认为1平方厘米有多大？自己试着用图形画一画，并用语言进行描述。把你知道的面积单位也写下来，你发现了什么？活动二的继续使得学生产生了更多的质疑：能否用直尺测量面积？活动单上的“1平方”又是什么单位？

仔细观察以上两个活动，不难发现一个问题：学生始终纠结于用图形的长和宽来解释说明图形的面积，虽能觉察到方法不当，但却找不到更好的解答方法。传统课堂中，像“单位”这种所谓概念类的教学，都是以教师讲解为主，学生的学习活动自然就是陪伴着教师的“教”而出现，这样的学习方式未免缺少自发性、自主性、自由性。[1]然而，在这样的一节“变教为学”教学模式的探索课上，教师在面对这类知识的教学时通常认为：对于数学概念的认识，如果我不说也不讲，学生怎么能懂呢？但事实是，从学生的表述中可知，对于“面积”这一概念，学生已经在头脑中形成，只不过对“面积单位”的认识知之甚少，这必然影响着对“面积”的表述，使学生不断地在原地打转，反复用边长去比较面积的大小。在这节课堂上，我们还可以发现，学生想要弄清楚的事情有两件：第一，该如何描述面积的大小？第二，为什么会出现“平方”一词？意义何在？

二、“平方”一词出现的意义及数学概念学习的障碍

现代汉语词典对“平方”的解释有：自乘（一个数或量）;乘二次方;数的自乘积。平方中的“平”相对应立方中的“立”作解释更为合理，即不被竖立，平放的意思。汉字源流字典中，“方”，甲骨文作。本义为起土锸（一种农具），引申指掘地出土形成的坑，其空间形体为六个面都是正四边形的六面体。《孟子・离娄上》：“不以规矩不能成方圆。”此处即为四个角都是直角的四边形。[2]平方的英文表述为“square”，该词可以组成square meter，即为“平方米”，还可以组成on the square，译为“成直角”。此外，这个词还可以单独用来表示广场、正方形等。综上，在数的意义上，平方就是一个数的自乘积;在量的意义上，是正方形、方形物的大小之意。对于“平方米”，现代汉语词典的一个解释是：面积单位，等于每边为1米的正方形面积，英文表述“square meter”（面积、平方米）。学生在课堂中一直说的“小正方形”其实就是单位面积的一种说法，但它的出现已经不仅仅是一个图形，更重要的是作为一种单位，来衡量其他图形的面积。

像上面这样，由于对数学术语的不了解，导致数学概念表述不清的现象还有很多，比如方程、差、商等。引导学生深入了解这些术语的由来，建立数学术语和相应数学概念间的联系，不仅有助于学生理解数学概念，还能够促进学生学会用数学语言进行表达和交流。

三、数学术语的教学策略

规范表达，认识新的数学词汇和术语已经成为学生数学学习过程中的需求，那么课堂重点就该侧重于数学术语的教学。因此，不妨借鉴词汇教学的规律进行学习，即通过听和读的活动，建立词汇与事物的联系，在说和写的活动中，建立数学术语与数学概念间的联系。充分让学生感知数学概念及数学术语的对应关系，体会数学术语表达的简洁和严谨的特点。

（一）“说”是深刻体会概念的必要活动

不同学生有不同的活动经验，加之小学生对客观事物的认识具有局限性，这就造成在不同背景下，不同学生对同一现象的不同解释。这种对事物多元化的认识和解释是需要交流的，通过交流必然会碰撞出新的想法，而这些新的想法或许就是学生个体形成正确概念过程中重要的部分。同时，在交流的过程中，为了克服交流障碍，学生自己会在表述过程中形成一种对“标准化”的需求。当学生对数学术语的学习产生需要时，他们才会主动地将自己已形成的数学概念与数学术语建立有意义的联系，他们对术语的理解也将是深刻的，对数学概念的认识也将不断丰富。因此，在数学学习活动中，给学生充分的时间进行“说一说、向你的同伴解释”等活动是很有意义的。

（二）“听”和“读”是学习术语的主要途径

学生学习的难点不仅在于丰富数学术语，还在于将生活用语与数学术语建立对应关系。苏联数学家斯托利亚尔指出：数学教学也就是数学语言的教学。[3]这句话将数学学习看作是从认识和理解数学语言开始的。根据汉语教学，字与词汇的学习通常伴随着生字表、生词表的学习展开的。教师在讲授课文时要解决学生对生字生词的认知障碍，或要求学生朗读生字和生词，或伴随着课文的不断深入，学习并体会新的词汇。

参照美国加利福尼亚州小学数学教材可以发现，在“测量：面积”这节课中，教材左侧呈现本节课的核心思想以及“新词汇”表（如图2），仔细观察还会发现，课程首先设置了一个教学情境，随后就出现了对本节课的核心词汇的定义，然后是解决问题的各种策略和案例。词汇表的出现，使得学生系统地获取众多新的数学词汇。同时，作为在交流和探讨时的一种有效的交流工具，词汇表也保证了数学术语的学习能够真真切切地发生在学生学习的过程中。

图2 词汇表示意图[4]

（三）“写”是建立数学术语和数学概念的有效方式

写作，在语言习得过程中是必不可少的一个步骤，这也是认知过程的最后一步：信息提取的过程。写作作为一种输出活动，它在数学概念学习过程中起到的作用是：用习得的数学术语表述自己对数学概念的理解，建立数学术语与概念间的联系。在语文学习中，为了让学生能够充分地理解、牢固地记忆某个词汇，教师通常以选词填空、造句子、写小作文等方式对学生进行评价。这些教学活动旨在让学生对所学到的词汇进行再认。这种教学方法可以被运用到数学概念与数学术语的复习和巩固学习中。美国加利福尼亚州小学数学教材有类似的教学环节（如图3）。在学习导引与回顾这一章，教材左侧呈现的是一种学习方法，即要求学生在学习过程中，将核心词汇以及核心概念记录在可折叠的卡纸上，教材还对这些核心词汇进行整理和汇总，并用高光笔重点突出新的数学术语以及其在该书内出现的页码。当然还有右侧的词汇检测：选择正确的词汇完成下面的句子。此外，写作的过程也是对概念再思考、再加工的过程，写作有助于学生理解、记忆新的概念。因此，也可以要求学生结合具体问题对核心概念写一段分析材料。这种用多种方式对数学术语进行总结、归纳和强化是值得借鉴的。

四、教学设计与结语

根据以上教学原则，可以设计出如下教学任务。

[任务一]

（1）选择身边物体的一个表面，沿着物体的边界尽可能地将其描绘在活动单上。

（2）说一说什么是图形的面积。

二维图形“面”通常出自于三维空间中的“体”，还原真实的、在立体图形中出现的一个面，对于学生来说，也是在理解二维空间与三维空间之间密不可分的联系，为将来学习体积做了铺垫。此外，学生在自主选择物体表面的过程中会思考什么是面、沿物体边界画出来的图形与面积有什么关系等问题。这个过程容易暴露学生对问题理解的偏差，例如画出来不封闭的图形等，这些不可预测的问题将促进学生的思考、交流和辨析。因此，在“变教为学”的数学课堂中，学习任务虽然是教师设计的，但操作对象应尽可能是学生自己，这样由学生自己创造出的真实的问题，不仅符合每名学生自己的认知水平，也能调动起他们乐于探索的积极性。

[任务二]

与同伴比较图形的大小，并互相说一说比较的结果和方法。（可以借助学具袋中的方格纸，剪刀，边长为1厘米、1分米的小正方形，小圆片，小三角形等）

为学生提供尽可能多的探索工具，创造尽可能多的探索途径，让学生通过交流，比较并选择出自己心目中最优的解决方法，才能让学生变得自由和自主。

[任务三]

（1）你听说过“平方米、平方分米、平方厘米”吗？看到它们，你又想到了哪些单位？将它们写下来。

（2）借助词典，查一查、读一读“平方”的含义，将其记录在本单元的数学词汇卡片上。与同伴说一说长度单位与面积单位有哪些联系。

（3）再和同伴比一比图形的面积。

新的术语在适当的时机介入到学生的学习过程中，会自然地成为学生探索和学习的工具，因此会出现任务三中的第一个活动。对面积单位的理解应该重新运用到对面积的表述过程中，才能领悟“平方厘米”这一数学语言。对于一些难以理解的数学术语，教师可以在后续的课堂中，通过整理词汇表、给句子填词、写一写等方式进行巩固。

“变教为学”的课堂中，数学术语也应让学生自己去获取，这个过程不仅让学生体会到概念的形成过程，也让他们深刻体会到使用术语的必要性，体味到数学术语的简洁、严谨。从听、说、读、写这四部分，将数学术语真正地作为一种语言进行学习，这不仅有助于学生加深对数学概念和数学术语的理解，还能激发学生的求知欲。语文教学方法合理地被应用到数学术语的学习过程中，不仅解决了学生“理解但不能表达”的语言问题，同时也打通了数学与语文学科之间的界限，为突出数学本质、渗透数学文化、实现数学知识间的关联做好充分的准备。

参考文献：

[1]郜舒竹.“变教为学”从哪儿做起[J].教学月刊小学版（数学），2013，（9）.

[2]谷衍奎.汉字源流字典[M].北京：语文出版社，2008，1：109～110.

[3]郭雅彩.数学阅读及其教育功能[J].陕西师范大学学报（自然科学版），2002，（30）.

[4]California Mathematics Grade 3 [M].The United States： McGraw- Hill Companies，2009：428.

[5]California Mathematics Grade 3 [M].The United States： McGraw- Hill Companies，2009：458.

（首都师范大学初等教育学院 100048）