“变教为学”需要螺旋上升的学习活动

任何人学习任何知识都不可能“看见就会，听到就懂”。就一节课的学习过程来说，应当是“感知、思考、交流”等环节“循环往复，螺旋上升”的过程（见图1）。

这种“循环往复，螺旋上升”并不是依赖教师告知的过程，而是学生自己逐步“自悟”的过程，是一个从开始的“迷惑”逐步走向“清晰”的过程。期间至少应当包括四个层次，第一是“明确问题，产生动机”;第二是“过程方法，获得结论”;第三是“多样比较，错误辨析”;第四是“关联应用，总结提升”。

一、明确问题，产生动机

学习过程起始阶段的“感知”，通常是学生利用感觉器官获取信息的活动，比如观察的活动、操作的活动、倾听的活动等等。在这样的感知活动中，不同的学生会形成不同的“关注点”，同时产生“想知道”的愿望。其中的“关注点”就成为下面思考活动的目标，“想知道”的愿望就成为进一步思考的动机。

感知活动中伴随着思考活动，初步的思考活动通常是在疑惑、想知道等心理因素驱使下形成一个或一系列问题，同时伴随着对这些问题价值的判断，以及对问题答案与解决策略的初步想法。诸如此类的想法往往是不完善、缺乏证据的，可以认为是主观臆断，也可以认为是猜想（conjecture）或者假设（hypothesis）。这样初步的思考活动对于学生的学习是必不可少的，是学生学习中必须经历的过程。

需要注意的是，初步的感知与思考过程中，不同的学生往往会产生不同的“关注点”及其相关想法，每个学生对于自身的想法就有表达的需求和愿望。因此，每个学生就应当有表达的机会，同时能够有机会了解别人的想法。这样表达和交流的活动，实质上是对想法逐步清晰和完善的过程，同时对每位学生也是提供新的感知信息的过程。

通过以上活动，学生应当形成了清晰的问题目标和解决问题的动机，同时对问题的答案和问题解决的过程与方法有了初步的设想。至此可以认为是“感知、思考、交流”的第一次循环（见图2）。

这一过程中生成的问题、猜想以及解决问题的设想等内容，就成为了进一步学习的感知对象。比如，对于小学数学课程中“圆的周长”这一内容，其重点在于探索圆的周长与直径（或半径）的关系。这样的关系可以分为两个层次，从质性的角度说，圆的周长与直径具有依赖与制约的关系;从量化的角度看，圆的周长与直径的比值是固定不变的常量。引导学生学习这样的内容，首先应当让学生通过感知活动感受到圆的周长与半径不是相互独立的，它们之间是有关系的。比如可以给学生布置如下的任务：

1.用圆规画出两个大小不同的圆，一边画一边想：圆的周长和半径或者直径是否有关系？

2.用自己的语言和同伴说说这样的关系。

学生通过“用圆规画”这样的操作活动，自然可以感知到如下的事实：

（1）直径（半径）越大则周长越大;

（2）直径（半径）越小则周长越小;

（3）周长越大则直径（半径）越大;

（4）周长越小则直径（半径）越小。

也就是圆的周长与直径（半径）具有依赖与制约的关系。在此基础上自然就会产生想进一步了解圆的周长与直径（半径）量化关系的愿望。相关的问题就是“圆的周长与直径究竟具有怎样的关系”，至此应当说就形成了进一步学习的动机和目标。

二、过程方法，获得结论

接下来进入图1所示学习过程的第二次循环。第二次循环过程的目标指向前面产生的问题、猜想和设想，目的是求解或证实，因此其感知与思考活动就是围绕寻找理由或者证据（Evidence）以及解决问题的过程与方法而开展的。

针对前面“圆的周长与直径究竟具有怎样的关系”这个问题，就需要通过“搜集数据、整理数据、分析数据”的过程来解决。所谓“搜集数据”就是对于大小不同的圆形进行测量，“整理数据”就是把测量的结果用清晰的方式进行记录。比如可以设计如下的表格记录测量的数据：

表1 圆直径与周长数据记录表

物体 直径 周长

盘子 25厘米 79厘米

硬币 1厘米 3.15厘米

…… …… ……

在实际教学中，应当尽可能多地测量各式各样、大小不同的圆形实物（也应当包括前面学生用圆规画出的圆形），并把所有数据记录在同一个表格内。在此基础上，就可以开始“分析数据”。分析数据的过程实质上就是发现规律的过程，也就是在运动与变化的过程中发现不变因素的过程。比如在表1中发现盘子的周长与直径的比值为=3.16，硬币周长与直径的比值为3.15等等。这些比值的一个共性就是相互之间比较接近，因此以上活动所获得的结论就是：

无论什么样的圆形，其周长与直径的比值都非常接近于3.1A，其中的数字A不确定。

以上“搜集数据、整理数据、分析数据”的过程，包含了观察（observation）、比较（comparing）、试验（experiment）、数据记录（data record）、分类（categorizing或classifying）、排序（ordering）、发现规律（pattern Finding或recognizing relationships）、测量（measurement）、数据解释（data interpreting）和推理（reasoning）等活动。在这些活动的基础上就得到了具有一定可信度的结论或者是问题的答案。需要注意此时的结论还没有达到完善的水平，因此就需要进一步的表达和交流。表达的方式可以是书面的，也可以是口头的;表达的形式可以是文字的，也可以是符号的、图像的。

学生在表达过程中，自然会出现与教师预设“不同”的内容，这些“不同”可能是学生“正确的自创”，也可能是“荒谬的错误”。如果在成人世界的工作活动或者学术活动中，“荒谬的错误”通常是要努力避免的。但对于学生的学习活动来说，无论是“正确的自创”，还是“荒谬的错误”，都应当成为进一步感知与思考的对象，是进一步深入学习的资源。这样的过程就构成了图1学习过程的第二次循环（见图3）。

三、多样比较，错误辨析

接下来第三次学习过程的循环，应当以前面活动中学生所生成的“不同”结论以及过程与方法作为感知和思考的对象。其核心活动在于对各式各样“不同”的理解与比较，同时包括对“错误”的辨别及其原因的分析，通过表达和交流逐步形成相对统一的认识（见图4）。

比如，针对前面圆的周长所获得的结论“无论什么样的圆形，其周长与直径的比值都非常接近于3.1A，其中的数字A不确定”，可以组织学生围绕下面的问题展开讨论：不同的圆形周长与直径的比值非常接近，说明了什么？可以结合正方形的周长与边长的关系进行思考。

学生熟悉的正方形的周长与边长的比值是固定不变的4，运用类比推理可以联想到圆形周长与直径的比值也应当是固定不变的值。而且这个固定不变的比值应当近似于3.1A。在此基础上，继续提出下面的问题引导学生思考讨论：为什么不同的同学针对不同的圆形得到的比值会出现微小的差异呢？对这个问题的思考讨论期望学生在两个方面有所感悟。

第一，由于人的感官以及测量工具的局限，任何实际测量都不可能做到绝对准确，总会出现误差。

第二，我们目前所熟悉的整数、分数以及有限小数都不足以表达圆与其直径的比值。

事实上，历史上数千年的时间里，人们都困惑于“圆周长与直径的比值究竟是什么”的问题，距今约4000年前的古代巴比伦人（公元前3000年～公元前729年）用“3”代表这个比值，古希腊时期的阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212）发现这个比值介于3和3之间，我国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之（公元429～500）发现这个比值介于3.1415926和3.1415927之间，等等。[1]

到了距今300多年的1706年，威尔士（Welsh）数学家威廉姆・琼斯（William Jones，公元1675～1749）才首次使用希腊字母“π”表达圆周长与直径的比值，这一符号真正为大家所接受并开始广泛使用，应当是30年后的1736年，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ，公元1707～1783）在自己的著作中开始使用之后的事情了。之所以使用希腊字母“π”代表圆周长与直径的比值，是因为希腊文中表示“，边缘”的词汇是“”（对应的英文单词是“periphery”），其第一个字母是“π”。 [2]在研究“π”的过程中，人们逐渐发现这个比值是不能用已经熟悉的整数和分数表示的，证明了这个比值“π”是一个无理数。只能够用分数或者小数表示出它的近似值。

在此基础上，就可以得到圆周长与直径的关系为c=πd，圆周长与半径的关系为c=2πr。公式中的字母“c”表示圆周长，对应的英文单词为“circumference”，字母“d”表示圆的直径，对应的英文单词为“diameter”，字母“r”表示圆的半径，对应的英文单词为“radius”。

四、关联应用，总结提升

有了相对统一的结论，就可以进入关联与应用的学习过程。关联与应用自然是以关系识别作为核心活动，其目的在于把以上学习活动中形成的结论或者方法，与其他知识与方法建立联系，与人的实践活动建立联系。在这一过程中，学生对已学内容有了较为广泛、深刻的理解，自然还会产生新的问题。通过数学学习力图实现“让知识越学越少，让问题越学越多”的目的（见图5）。

比如，在我国许多城市建设的发展中，都围绕城区修建“环路”，北京城目前就有从二环路到六环路的五条围绕北京城区的环路（见图6）。

人们出行时经常面临的一个问题就是面对多条路线选择的时候，如何确定最快捷的路线。不妨假设环路都是圆形的（见图7），如果不考虑堵车等因素，图7中从A处出发到G处，至少就有三条行车路线供选择：

路线1：ABCDEFG

路线2：ABCEFG

路线3：ABFG

其中路线2中从C到E是沿着内环路线的弧线行驶，路线3中从B到F是沿着外环路线的弧线行驶。这一问题的解决依赖于对各条路线的长度进行比较，也就是需要研究直径与圆周长的关系。对这一问题的思考与讨论，学生可以体验到所学习的“圆的周长”知识的实际价值。这种对知识实际价值的体验对于激发进一步的学习动机是有所裨益的。在解决问题的过程中，可以启发学生与类似相关联的问题作对比，比如如果假设环形路线都是正方形（见图8），那么三种供选择的路线分别为：

路线1：ABCDEFG

路线2：ABCMEFG

路线3：ABNFG

在发现这三条线路长度分别相同的基础上，可以引导学生将图7和图8两个路线图画在一起进行观察（见图9）。

这时就为观察和比较提供了更加直观的模型，学生可以充分利用直觉进行猜测，而后通过计算进行验证。

在此基础上可以进一步提出新的问题，如果环形路不是正方形和圆形，而是其他图形，比如椭圆形（见图10），那么应当怎样解决类似问题呢？

诸如此类的问题仅依赖中小学的数学课程内容是难以解决的，尽管如此，在解决问题的基础上提出新的问题的思维方式本身，对学生的一生都是一种重要的素质，引导学生提出新问题的做法，注重的不是问题本身以及问题是否能够解决，注重的是学生作为人的思维方式的培养，是“教书育人”的具体体现。

以上所介绍的“问题与动机，过程与方法，多样与错误，联想与应用”是一个螺旋上升的学习过程，每一个环节都需要经历“感知―思考―交流”的过程。这样的设计并不是遵循“从易到难”的原则，而是“发现问题、分析问题、解决问题、推广应用”的一般认识论原则。

参考文献：

[1]Dorothy Rice. History of π （or PI）. Mathematics News Letter， Vol. 2， No. 5 （Mar.， 1928）， pp.6～8.

[2]Rheta N. Rubenstein and Randy K. Schwartz. Circles Around， About， Across， & Through. Math Horizons，Vol. 11，No. 2 （November 2003）， pp.20～23.

（首都师范大学初等教育学院 100048）