对人教版勾股定理内容编排的商榷

摘 要：在初中数学中，勾股定理是很重要的内容，但学生的学习效果离课标要求有较大的差距。通过调查、分析发现，人教版教材勾股定理内容编排有值得商榷之处。

关键词：初中数学；勾股定理；人教版教材；编排；商榷

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）06-0071-03

一、人教版教材勾股定理内容编排

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是数形结合的一座桥梁，是人类早期发现、证明、运用的重要数学定理之一，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响。为了使学生较好地掌握这一定理，人教版数学教材在八年级（初二）下册安排了这一内容。教材通过引导学生观察、猜想、计算、证明等活动学习并掌握勾股定理，还介绍了中国古代对勾股定理的研究成果，旨在培养学生的民族自豪感。这符合学生的认知规律，是很用心的编排。可我们从学生学习效果的反馈中发现：学生离课标的要求有较大差距，原因何在呢？为此，我们用问卷和访谈两种方式进行了调查。问卷结果显示：有81%的同学认为勾股定理很重要。有49%的同学认为勾股定理很难学。在调查勾股定理的证法时，发现有58%的同学能画出证法的图，其中34%的同学画出的是赵爽弦图，8%的同学画出的是加菲尔德图，2%的同学画出的是“传说中的毕达哥拉斯图”。 但只有27%的同学正确写出了证法，只有1%的同学用的是赵爽的出入相补法。访谈中我们还发现很多学生认为毕达哥拉斯对勾股定理的贡献比赵爽大。大部分学生不清楚中国是什么时候开始使用勾股定理的。

这种状况的出现显然不能排除教师的教和学生的学这两方面造成的原因。但通过进一步的分析，我们发现教材在编排方面有值得商榷的地方。

（一）内容呈现的逻辑顺序易误导学生

教材在这一章引言介绍了我国古代对勾股定理的研究成果，而正文却从毕达哥拉斯观察地板格子发现等腰直角三角形三边数量关系引入，再引申到一般直角三角形，然后是赵爽的证明。旁边又注明“在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理”。在后面的阅读思考中又有“传说中的毕达哥拉斯的”证法。引言部分容易被学生忽视掉，而从第一节读起来让人感觉勾股定理的发现到证明都是毕达哥拉斯，赵爽只是给出了一种证法而已。学生的这种印象先入为主，会成为最深刻的印记――提起勾股定理就会想到毕达哥拉斯。而中国人对勾股定理的发现和证明都比毕达哥拉斯早很多。这种误导对中国学生尤其不公平。

（二）难度较大的地方有两处

1.探究活动中给出的提示忽视了学生原有知识基础，超出了学生能力。解决等腰直角三角形三边关系的问题时，教材引导学生运用数格子的方法通过计算面积相等，进而发现等腰直角三角形三边的关系。而在解决一般直角三角形三边关系的问题时，教材给出了一个提示：以斜边为边长的正方形面积等于某个正方形面积减去4个直角三角形的面积。应该说这种方法和中国流传最广的那张弦图的证法如出一辙，是很经典的一种证法。可它在此时出现，却给绝大多数的学生搭建了一个无法爬上的梯子。教材的提示直接给了方法，而这种方法需要的能力，学生并不具备，于是学生就不会做。即使在老师的引导下做了也很难留下深刻的记忆。这个地方卡住了，下面就很难学会了。怎样让学生比较容易地学会呢？学生们此时仍需用数格子的方法解决这一问题。而新的问题是出现了形状不统一、面积不相等的不完整的格子，把这些格子数清成为关键！不论大小，不管形状，每一个不满的格子都按半格数是一种简便的方法。学生会做，但不知为什么要这样做。而给出下图的提示有助于学生数清这些格子，并从原理上弄明白三角形与矩形的面积关系，从而弄明白教材提示的“某个正方形”是个在什么位置的正方形。学生弄懂了这些，下文赵爽的证法就不显得那么难懂了。

2.教材为了弘扬我国古代成就介绍了赵爽的证法，包括赵爽弦图和利用弦图证明勾股定理的基本思路。把两个靠在一起的正方形拼成一个大正方形是一个图形变化过程，它是动态的。靠书上几幅静止的图和一段逻辑严密的文字来表述，不容易让学生看懂。好多学生费了半天劲儿看懂了，也无法像其他证明题一样用“因为、所以”把证明过程清晰地写出来。这就让原本简单明了的证法变得繁杂难懂了。而赵爽弦图下的知识链接――“赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。”很明显也是勾股定理的证法，而且是学生可以用代数式写出来的证法。相比之下，这一证法反而显得简单且易被学生接受。但是只引用了古文，没有把古文翻译成现代汉语。以初二学生应有的水平去读，学生看不懂。

赵爽的证法够简单，但不是最简单的。学生更容易看懂教材30页上标注的“传说中的毕达哥拉斯的”证法。在两张全等的正方形纸上用八个全等的直角三角形拼出下面的图形。学生很容易就弄懂了左图的以斜边为边长的正方形的面积等于右图的两个小正方形的面积的和。计算面积就证出了勾股定理。学生说这种证明小学生也能看懂。学生是学习的主人。我们的教材不应该只是写给老师看的，更应该是写给学生看的。学生看得懂的教材才是最好的教材。

（三）教材在史料表述上有不严谨之处

1.有关毕达哥拉斯的部分相传、传说各出现一次。“相传、传说”这一类词似不宜在数学书中出现，因为缺乏充分证据。中国流传最广的证法是在有格子的图上进行的。而毕达哥拉斯学派的欧几里德通过证明三角形全等来证明面积相等进而证明直角三角形三边关系，与格子无关。

2.赵爽的生存年代在教材上注为汉代，在教师用书上又多次注为三国。虽然汉代和三国时间紧连，但还是统一说法为好。

3.中国人在公元前1100年发现勾股定理，毕达哥拉斯在2500多年前发现。乍一看好像毕达哥拉斯比中国人早，而实际上2500多年前是公元前500年前，比公元前1100年晚了600年。这两个数据应该使用统一的标准。

4.公元前1100年这一数据是采用了周公的年代。周公是周武王的弟弟，是商末周初杰出的政治家和军事家，被尊为儒学奠基人，也是孔子一生最崇敬的古代圣人之一。《周髀算经》的第一部分就是周公与商高的对话。而根据《周髀算经》的记载大禹时期已开始使用勾股定理了。大禹在他的儿子启建立夏朝之前，即大约公元前2070年之前。所以英国皇家学会会员、剑桥大学冈维尔和凯厄斯学院院长李约瑟认为“我们现在不能像毕瓯那样肯定地说它比毕达哥拉斯（公元前530年著称）早五、六个世纪，但也没有很多理由把它推迟，而且它也很可能还要更早的。”

5.教材上把那个小学生都能看得懂的证明归在了毕达哥拉斯的名下。而美国的谢尔曼・克・斯坦因在《数字的力量》一书中注明这种证法是中国人的。同一种证法总得有足够的证据才能定下归属。中国古书留传不多，毕达哥拉斯也没有著作流传下来。欧几里德《几何原本》的证法和上面的证法没有关联。赵爽的证法和上面的证法也联系不大。那么商高的证法呢？商高的那段话“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩以为勾广三、股修四、径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”是不是勾股定理的证法？我们一般人确实很难懂。好在中国有人读懂了，并复原了证法的图。

从这些图中我们挑出中间的和右侧的两幅，把中间的那幅补成正方形――这不就是那种最简单的证法嘛！或者说商高的证法和这种证法有明显的传承关系――那种最简单的证法脱胎于商高的证法。商高的年代比毕达哥拉斯早很多，即使毕达哥拉斯也有同样的证法，我们也可以理直气壮地说这种证法是中国人先发现的。我们的教材可以把这种证法放在最显著的位置上，明确地标注这种证法起源于中国。国际上对勾股定理的命名我们可能改不了，可我们有义务让学生知道中国古代的科学技术领先其他国家很多年，属于中国的知识产权我们不能拱手让人。

二、对内容编排的建议

1.教材的编排框架可以不动，仍从数地板格子引入，只是不必说这是毕达哥拉斯发现的；2.一般直角三角形三边数量关系处的提示增加怎样数清不完整的格子；3.把赵爽弦图下的知识链接中的证法翻译成现代汉语，并用数学语言给出证明，然后再介绍出入相补法；4.赵爽的时间标为三世纪；5.中国人知道勾股定理的年代改为大禹时期；6.在小学生都能看懂的证法前标注这是中国人的证法；7.多列几种证法供学生选择性地学习；8.保留教材中那句“在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理”就行了。

数学是一门科学，并以严谨著称；数学教材是写给老师看的，更是写给学生看的。教师的教和学生的学都离不开教材。完善教材的编排会使很多学生受益终生。我们认为，人教版教材勾股定理一节的内容这样编排更为合适。