以问题驱动思维发展的一堂优质课

2009年10月27日,我校胡汉成老师参加浙江省高中数学优质课评选及教学论坛,荣获一等奖,欣喜之余,回想这节课的打磨过程,有许多值得总结、提升之处,故赘述如下。

一、教学设计过程中争议较大的三个问题

1.如何引入课题

虽说不必每节课都要有情境,但二项式定理作为排列组合原理的直接应用,如果直入主题,不仅学生感到突兀,还有掐断思维源头之嫌,如何引入课题?是虚拟情景引入还是现实情景引入?

2.如何引导学生发现二项式系数规律

不可能通过观察(a+b)n展开式中n=2,3,4时二项式系数特征归纳得出二项式系数的一般规律,而学生的思考总是先具体后抽象,先特殊后一般,要不要让学生经历“观察的失败”,从“观察的失败”中寻找新的思路?是放手让学生探究还是教师引导?如何引导?

3.二项式定理证明

二项式定理的证明过程从本质上来说,就是二项式定理发现过程的重复,是教师引导学生证明定理,还是让学生看书自学、提炼总结?

二、教学过程简录

1.提出问题,启动思维

师(展示科学家牛顿的图片):同学们,你们知道他是谁吗?

生:牛顿。

师:是的,他就是伟大的科学家牛顿,牛顿不仅是一位伟大的物理学家,还是一位伟大的数学家,他在数学上的第一个发现就是我们今天要研究的课题。现在就让我们沿着伟人的足迹重走他的探究发现之路。1664年冬,牛顿在研读沃利斯博士的《无穷算术》中的(a+b)2=a2+2ab+b2、(a+b)3=a3+3a2b+b3时想到了一个问题,同学们能想到是什么问题吗?

生:(a+b)n展开后是什么?

师:同学们的想法和当年牛顿的想法一样,要注意 是自然数。

2.解决问题,发展思维

师:如何解决问题?请同学们说说自己的想法。

生:先求出n=2,3,4时的展开式,观察它们的规律,推测一般展开式的规律。

师:这位同学的想法是好的,我们研究问题总是从特殊到一般、从具体到抽象,前面研究函数性质时,这种方法很有效,大家不妨一试。

(学生通过计算、观察后,没能发现规律,有点沮丧……)

师:我要告诉大家的是,没有哪种方法能包打天下,此路不通,需要换个角度去思考,这就是我们常说的“创新”。比如我们观察(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)的展开式,怎样相乘才能得到a2b,它的系数3是怎样得到的?你从中是否受到一些启发?

生:a2b是两个a一个b相乘得到的,两个a一个b分别来自3个括号,这种取法有三种,所以系数为3。

师:为什么有三种取法?

生:3个括号中两个括号选a余下一个括号选b,总共有C32中选法。

师:对!系数3对应着C32,当然,如果从选b这个角度考虑,3对应着C31,习惯上按照组合数的上标依次递增,我们还是入乡随俗,尊重习惯。

(学生用组合数的形式写出了n=2,3,4时的展开式,在教师的启发下,写出了n=0,1时的展开式,归纳类比写出:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+……+Cnnbn)

师:数列可以用通项表示为an=f(n),二项展开式这么多项,你能给它们找个通项吗?共有多少项呢?

(学生几经尝试,找出通项:Tk+1=Cnkan-kbk[k=0,1,2,3……n],共有n+1项)

师:上式仅是我们归纳类比得到的一个猜想,猜想的正确性有待进一步证明,请同学们翻开课本第30页,阅读证明过程,提炼证明思路。

3.解题训练,发散思维

总共设计了3个例(习)题。

例1:求的展开式。

例2:化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=。

课堂练习:求(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中含x4的系数是( )。

A.-15 B.85 C.-120 D.274

4.小结延伸,拓展思维

教师引导学生对本节课从知识、方法等方面进行小结,最后总结:“同学们,牛顿之所以伟大,不仅因为他能在别人习以为常之处发现问题,还在于他比别人走得远、研究得深,他研究了n是自然数的情形后,接着推广到了有理数,课后有兴趣的同学可以查阅资料。”

三、对教学过程的反思

数学教学过程从本质上来说是教师促进学生思维发展、人格完善的过程,促进学生思维发展的载体是“问题”,问题通常有两种来源:一是教师抛出“问题”;二是学生提出“问题”。但目前数学教学过程中,绝大多数问题是教师抛给学生的,学生的“问题意识”和“如何提问”有待教师的发掘。本节课再现了二项式定理发现的历史背景,让学生体验问题发现的过程,自主提出问题,从而较好地解决了关于如何引入课题的争议.

教师在教学过程中为学生搭建“脚手架”从根本上来说是对教学过程的一种管理与调控,这种管理与调控是建立在对学生认知基础和认知规律的认识之上的,也就是要解决何时搭建“脚手架”、搭建什么样的“脚手架”。“脚手架”搭建过早、过细,学生的思维被牵着走,缺少自由发挥的空间,从问题的提出到问题的解决,一路顺风顺水,不仅无法体验思维过程中的各种尝试,也缺少思维挫败的经历,及至面临挫败时缺少主动求新、求变的意识。二项式定理的系数规律是无法观察出来的,学生思维定势是“先具体再抽象,先特殊再一般”,究竟是否让学生经历“观察的挫败”是教学设计中争议的又一焦点。一些教师害怕在此耽误时间,来不及处理后面的教学内容而主张放弃,但综合考虑学生的认知规律、人格的完善、创新意识的培养,这是不可或缺的环节,经历“观察的挫败”是手段,目的是要培养学生“碰壁”之后主动求变、求新的意识。这就需要教师指导学生换个角度去思考、去探索、去发现,促使其求变。至此,关于争议二的问题也彻底解决了。

二项式定理的证明过程与发现过程的一致性,为学生看书自学奠定了基础。在教学设计过程中,有几位教师认为这是一个难点,需要完整地证明,但是经过对二项式定理发现过程的分析,最后大家一致认为,这一证明过程更适合学生通过阅读自学、总结、证明。这种安排不仅有利于落实新课程标准的理念,还利于学生学习能力的培养,关于争议三的问题也就迎刃而解了。

每节数学课上都有练习,二项式定理的正用、逆用、回归本质求系数等使学生在变化的数学情景下得到了技能训练,有利于学生对数学技能的掌握。最后的结束语不仅与开头相呼应,也是对同学们的鞭策,还为有兴趣的同学进一步研究预留了空间。

(作者单位:浙江丽水学院附属高级中学)