运用拉密定理速解一类平衡问题

1拉密定理

如果在共点的三个力作用下，物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比.在图1中，其表达式为

F1sinθ1=F2sinθ2=F3sinθ3.

2应用

例1一个底面粗糙，质量为m的劈放在粗糙水平面上，劈的斜面光滑且与水平面夹角为30°，现用一端固定的轻绳系一质量也为m的小球，小球与斜面的夹角为30°，如图2所示.求当劈静止时绳子中拉力大小为多少？

析解以小球为研究对象，小球共受三个力作用，如图3所示.斜面对小球的支持力FN，绳子对小球的拉力F，小球所受的重力mg.

由拉密定理，得

mgsin60°=Fsin150°，

所以F=sin150°sin60°×mg=33mg.

所以，当劈静止时绳子中拉力大小为33mg.

例2如图4所示，用A、B两个测力计拉橡皮条的D端（O端固定），当D端达E处时，有α+β=90°，然后保持A的读数不变，当α角由图中所示的值逐渐变小时，要使D仍在E处，可采用的方法是

A.增大B的读数，减小β角

B.减小B的读数，减小β角

C.增大B的读数，增大β角

D.减小B的读数，增大β角

析解以E点为研究对象，E点受三个共点力，即测力计的拉力FA、FB及橡皮条对E点的弹力F.如图5所示.

由拉密定理，有

FBsin（180°-α）=FAsin（180°-β）（1）

即FBsinα=FAsinβ（2）

由（2）知：当α值逐渐变小时，可减小FB（B的读数），减小β角.

故选B.

例3如图6所示，AO、BO两根轻绳上端分别固定在天花板上，下端结于O点，在O点施一个力使两绳在竖直平面内绷紧，两绳与天花板的夹角如图，力F方向与OB夹角为α，当α=时，绳AO拉力大小等于F.

析解以O点为研究对象，受三个共点力，即两根轻绳的拉力FAO、FBO及力F.由拉密定理，有

Fsin105°=FAOsinα，

当FAO=F时，有

sinα=sin105°，

所以α=75°或105°.

例4（2003年全国理综题）如图7所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口是光滑的.一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线夹角为α=60°.两个球的质量比m2m1等于

A.33B.23C.32D.22

析解以m1为研究对象，m1共受三个共点力作用，即重力m1g、碗对m1的支持力F1、线对m1的拉力F2.如图8所示.

由拉密定理，有

m1gsin60°=F2sin150°=m2gsin150°，

所以m2m1=sin150°sin60°=33.

故选A.

例5如图9所示，一小球在纸面内来回振动，当绳OA与OB拉力相等时，摆线与竖直面夹角α为

A.30°B.45°C.15°D.60°

析解以O点为研究对象，在纸面内受三个共点力作用，即绳OA的拉力FAO、绳OB的拉力FBO及摆线的拉力F.

由拉密定理，有

FAOsin（150°-α）=FBOsin（120°+α），

当FAO=FBO时，有

150°-α=120°+α，

所以α=15°，故选C.

例6如图10所示，两轻杆AB和BC在B点连接在一起，A、C两端固定，两杆相互垂直，且杆长之比AB∶BC=4∶3，在B点施一竖直向上的力F=40 N，试求F使AB杆和BC杆受到的压力的大小分别为多大？

析解以B点为研究对象，共受三个共点力的作用，即轻杆AB、BC的弹力FAB、FCB及力F.如图11所示.

由拉密定理，有

Fsin90°=FCBsin（90°+α）=FABsin（90°+β），

所以FCB=Fcosα=40 N×45=32 N，

FAB=Fcosβ=40 N×35=24 N.

所以，AB杆和BC杆受到的压力的大小分别为24 N、32 N.

3结束语

解决三个共点力作用下的平衡问题，常用的方法有正交分解法、相似三角形法、合成法、分解法等，在解答过程中通常要画出力的平行四边形或对力进行合成或分解，虽然方法可行，但求解过程中，比较呆板繁琐.如能正确合理运用拉密定理求解，会显得简捷快速，不妨试试.