例说多元最值问题的解法探究

所谓多元最值问题，指的是含有两个或两个以上变元的式子的最值求法问题。因为所求最值的式子中含有多个变元，所以学生往往惧怕处理这类问题。而因为这类问题可以考察学生的知识理解和各方面能力掌握的情况，所以又是出题者比较青睐的一类问题。为了解决这一矛盾，笔者结合自己的教学实践给出了解决多元最值问题的几种方法。希望能给广大学生带来点帮助。

1 利用基本不等式

基本不等式a+b2ab（a,b>0）能够求得最值。而且基本不等式本身是多元的式子，这为解决多元最值问题提供了一种思路。

例1：（2006年重庆理科第10题）若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23，则2a+b+c的最小值为（ ）

A 3-1 B 3+1 C 23+2 D23-2

解析：a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)(a+b+a+c2)2=(2a+b+c)24

因为a,b,c，所以2a+b+c23-2

故选D。

点评：在高考中，用基本不等式的思想解决多元最值问题，既考察了学生对基本不等式的掌握程度，又考察了学生对多个字母的整体把握能力。

2 消元

通过消元把字母的个数变少，然后利用基本不等式或函数的单调性以达到解决问题的目的。

例2：（2008年江苏第11题）设x,y,z为正实数，满足x-2y+3z=0，则y2xz的最小值是 。

解析：由x-2y+3z=0得y=x+3z2，

所以y2xz=x2-9z2-6xz4xz6xz+6xz4xz=3

故y2xz的最小值为3.

点评：本题首先利用题干条件把变元减少，然后利用基本不等式进行解决。有的题目可以利用题干条件把多个变元减少到一个，这时也就可以利用函数值域的求法进行求最值了。

3 换元

对于含有多元变量的式子，如果我们要能用一个字母来进行代换，使得式子的变元减少，这样就降低了题目的解决难度。使得学生就有从下手，从而解决问题。

例3：（2005年重庆文科）若x2+y2=4，则x-y的最大值是。

解析：由题意可设x=2cosθ，y=2sinθ则

x-y=2cosθ-2sinθ=22sin(π4-θ)

-1sin(π4-θ)1

x-y的最大值为22。

点评：本题可以采用三角换元，也可以利用数形结合的思想解决。

4 变换主元

例4：（2007年辽宁第21题改编）已知f(x)=x3-9x2+24x，若对于任意的m∈［-26,6］，恒有f(x)x3-mx-11成立，试求实数x的取值范围。

解析：已知f(x)=x3-9x2+24x对任意的m∈［-26,6］恒有mx+(-9x2+24x+11)0

一般情况下，不等式左边是关于m的一次函数，记为g(m)，则对于任意的m∈［26,6］，

g(m)0的充要条件为g(-26)0且g(6)0。

由g(-26)=-26x+(-9x2+24x+11)0，解得-119x1；

由g(6)=6x+(-9x2+24x+11)0，解得-13x113。

故的取值范围为-13,1。

点评：含参数问题通常含有两个或两个以上变元，习惯上把看成是自变量的思维定势会把问题变得相当复杂，这时利用变换主元的思想，将与角色换位，问题便迎刃而解。

5 数形结合

有时利用已知条件的几何意义，也可以利用数形结合的思想求得多元最值。

例5：已知x,y满足x216+y2251，求y-3x的最值。

解析：令z=y-3x，变形为y=3x+z。则它表示斜率为3的平行直线系方程，z是直线在y轴上的截距。由图易知在区域x216+y2251内，

的最大值、最小值在直线与椭圆相切取得。

将y=3x+z代入x216+y225=1得

169x2+96zx+16z2-400=0

由Δ=(96z)2-4×169×(16z2-400)=0得

z=±13

故所求y-3x的最大值为13，最小值为-13。

点评：线性规划可以求得多元目标函数的最值，这也是高考每年都涉及的知识点。此题可以看作是线性规划的延伸。

6 判别式法

根据已知条件构造多元方程，然后利用方程的判别式求得多元最值。

例6：设x,y为实数，且x2+xy+y2=3，求x2-xy+y2的最值。

解析：由已知x2+xy+y2=3 ①

设x2-xy+y2=k ②

由①、②可得

x2+y2=k+32，x2y2=k2-6k+94

所以x2,y2是关于t的方程t2-k+32t+k2-6k+94=0的两个根。

所以Δ=(k+32)2-6k2-6k+90即k2-10k+90

解得1k9

故x2-xy+y2的最小值为1，最大值为9.

点评：观察已知条件所给两个代数式的结构特点，设x2-xy+y2=k，则易得出x2+y2与x2y2的等式，把x2,y2看作某一方程的两个根，则代数式的最值问题转化为方程是否有解的问题，问题容易解决多了。