浅谈勾股定理教学中数学思想的体现

摘 要：勾股定理是一个最基本、最重要的定理，它揭示了直角三角形的三边关系． 勾股定理这部分内容蕴涵着丰富的数学思想，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，从而使数学更容易理解和记忆，更好地提高学生的学习效果． 本文以勾股定理的教学为例，从五个方面浅谈其教学中体现的数学思想．

关键词：化归思想；数形结合思想；方程思想；分类讨论思想；整体思想

随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，更加注重培养学生的思维能力． 本文以勾股定理的教学为例，探讨在新课程教学中结合运用一些数学思想方法，通过转换思维角度，达到渗透数学思想、训练学生思维的目标．

化归思想

所谓化归思想，就是把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”，它具有不可逆转的单向性．

例1 已知ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC的值．

图1

评析：ABC为斜三角形，利用化归思想可化斜三角形为直角三角形，转化为用勾股定理解决的问题． 过A点作BC边上的高AE，将ABC分成两个特殊的直角三角形ABE与ACE，根据勾股定理，由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=2，再由∠C=45°，得AE=CE，求出CE=2，从而得到BC的值为2+2．

例2 小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师兴冲冲地来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当他们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机． 同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理．

图2

评析：这是一个生活实际问题，我们可以将它转化为一个数学问题．先在底面ABCD的RtABD中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=；再在对角平面D′DBB′的RtDBD′中，由DD′=1，BD=，求出BD′=，又因为≈1.7＞1.6，因而便可判断能将飞机模型完整地带上飞机．

例3 如图3所示是一个三块台阶，它的每一块的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，点A和点B是这个台阶两个相对的点，A点有一只蚂蚁，想到B点吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是________dm．

图3

图4

评析：求几何体表面的最短路程时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形（如图4），在RtACB中，AC=20 dm，BC=15 dm，由勾股定理易求出AB=25 dm，即蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是25 dm．

数形结合思想

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形有机结合来思考，是抽象思维与形象思维的结合． 通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的．

例4 A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．

（1）A城是否受到此次台风的影响？为什么？

（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

图5

评析：本题的情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定的挑战性，如何将实际问题转化为数学模型（数形结合），是解决本题的关键．

如图5所示构造数学模型，作APBF，在RtABP中∠ABP=30°，AB=320 km，所以AP=160 km＜200 km，即A城受到这次台风的影响．

设AD=AC=200 km，在RtADP中，应用勾股定理，得DP= ==120 km，所以A城遭受风暴影响的时间为=6（小时）．

方程思想

方程思想就是根据问题的条件或结论，列出方程或方程组，通过解方程或方程组，从而使问题得到解决．

例5 折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，AE为折痕． 已知AB=8 cm，BC=10 cm，试求EC的长．

图6

评析：由折叠重合可知ADE≌AFE，从而AD=AF=10 cm，DE=EF． 在RtABF中，AB=8 cm，由勾股定理容易求出BF==6 cm． 又因为BC=10 cm，易求CF=4 cm，再在RtCEF中，若设CE=x，则EF=DE=8-x，由勾股定理得CE2+CF2=EF2，可构造方程x2+16=（8-x）2． 只要求出方程的解，问题便水到渠成．

分类讨论思想

分类讨论可以使解答更为严密完整，避免漏解的情况发生，分类时要引导学生按一定的标准，将问题分成既不重复又不遗漏的类别．

例6 已知在ABC中，AB=20，AC=15，高AD=12，求：（1）BC的长；（2）求ABC的面积．

图7

评析：由于三角形的高线的位置随其形状的不同而改变，本题中若ABC为锐角三角形，则其高线在三角形的内部；若ABC为钝角三角形，则其高线在三角形的外部；若ABC为直角三角形，则其高线在三角形边上且与AC重合，而AC≠AD，所以ABC不为直角三角形．故本题只须分两种情况讨论（如图7）．

整体思想

整体思想就是把考虑的对象作为一个整体看待，进而解决问题的一种数学思想． 应用整体思想解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的效果．

例7 已知直角三角形的周长为18，斜边长为8，求直角三角形的面积．

评析：若设两直角边长分别为a，b，因为a+b=10， 则b=10-a，由勾股定理得a2+b2=64，所以要直接求出a，b的值，只要用一元二次方程a2+（10-a）2=64可解．

但解这个方程较繁，而由S=ab联想到可运用整体思想：将ab视为一个整体，因为（a+b）2= a2+b2+2ab，所以2ab=（a+b）2-（a2+b2）=100-64=36，所以ab=18，所以S=ab=9，问题便顺利获解．

例8 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图8所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=________．

图8

评析：此题不可能分别求出S1，S2，S3，S4，但我们可以分别求出S1+S2，S3+S4． 例如S3+S4可用以下方法求得：易知RtABC≌RtCDE，所以AB=CD，BC=DE． 又CD2+DE2=CE2，而CD2=AB2=S3，DE2=S4，CE2=3，所以S3+S4=3，同理S1+S2=1，所以S1+S2+S3+S4=1+3=4．

以上是仅在勾股定理中体现的数学思想，只要我们平时多加留意，引导得当，学生的数学思维能力就会提高．