例谈培养学生数学空间观念与几何直观能力

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等.几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.

几何直观就是用图形描述和分析问题.可能不仅仅数学学科的学习中会用到，其它学科或知识领域都会用到.因为图形比较直观，容易被人接受.比如，绘制统计图分析问题，比如，生活中遇到路线问题交流受阻时，也会有人把自己的理解绘制成简易地图与他人进行交流.从这个角度看，这都是几何直观这个数学素养在起作用.

笔者以为几何直观的培养，就是培养学生把自己对问题的理解用图形的方式表达出来，从而解决问题或帮助别人的能力.这似乎与空间观念的培养有相似之处.而且几何直观的培养并不仅局限于“图形与几何”内容的学习，“数与代数”内容的学习同样需要几何直观能力.

例如，在全等三角形学习内容上，笔者发现一般不要求学生画图来描述和分析问题，即便有画图要求，似乎也不是借助图形来描述问题或是表达自己对问题的理解.一些需要利用全等三角形来解决的实际问题中，往往会先给出图形.学生处于接受状态，缺少自己对问题的理解与描述.

数学学习中，有些知识或技巧，是可以通过教师的言传身教来传授给学生的；但是有些东西必须是学生自己亲自动手去做、亲身去经历的，通过学生的经历、体会、思考、感悟、积累，才能变成他自己的东西.老师的讲解、传授无法取代学生自身的理解、感悟与积累.因此，教师在平时的教学中应有意识的挖掘这类教学素材，设计简便易行的活动，尽可能地安排学生独立的阅读、操作、理解、感悟，帮助学生积累活动经验.

《义务教育教科书 数学八年级上册》（江苏科技出版社）第25页“思考”：

图1

工人师傅常常利用角尺平分一个角.如图1，在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.请你说明这样画角平分线的道理.

教材中是直接给出图形，让学生思考这样操作的理由.如果只给出∠AOB及相关操作的文字介绍，并且提前准备类似的工具，让学生经历一遍操作的过程，说出操作的顺序，进而将自己对问题的理解用图形表达出来，这恰恰是对几何直观能力的培养.

图2

如，《义务教育教科书 数学八年级上册》（江苏科技出版社）第32页第17题：

用三角尺可以按的下面的方法画∠AOB的平分线：在OA、OB上分别取点E、F，使OE=OF；再分别过点E、F画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点C；画射线OC（如图2）.试说明射线OC平分∠AOB的道理.

同样，教材中是直接给出图形，让学生思考这样操作的理由.如果只给出∠AOB及相关操作的文字介绍，让学生亲身经历操作的过程，说出操作的顺序，进而将自己对问题的理解用图形表达出来，积累活动经验的同时又再次培养了学生的几何直观能力.

那么，如何培养学生的数学空间观念和几何直观能力呢？

一、培养学生空间想象力

教学中关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系，在学生积极主动的参与学习中.如，在“直线与线段”教学中我通过一组图片，视觉上给同学们直观的认识，引出直线，让学生很容易发现直线的特点，尤其直线是一个理想化的概念，几何直观的感受凸显的更加重要.学习直观几何，就像书上所说采用学生喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，形成空间观念.

二、培养学生直观洞察力

在学生几何图形中，让学生“跟着感觉走”，大胆说出自己的直觉，在复杂图形找出自己所需的关系，准确甄别.如在两条相交线中，让学生用不同方式分别表示直线，探求点与直线的位置关系，在是是非非中，判断图形说法的正确与否.克服粗心大意，走马观花，做事不求甚解的毛病，要细心的去观察，用心的去思考，发现问题和解决问题.如在直线上取一点C，共有几条线段，取n点又会有几条线段；如寻找线段、射线、直线的区别，既需要知识点的准确，又需要语言叙述的严密.几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿几何教学的始终，在几何教学中占有很重要的地位.我们常常把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单，把抽象转化为具体，如票价问题，转化为数线段的条数，再次强化单、双循环问题.我们可以将数学方法传递给学生，而数学眼光却无法传递，故应着重把握好对数学思想的教学，这样有利于学生主动探索解决问题的方法，体会解决问题的策略，提高数学的应用意识.

三、培养学生思考问题的能力

平面几何的许多性质、定义等学生很难记忆清楚，通过指导学生利用图形来记忆就比较容易解决问题，同时培养学生用图形的意识.如射线、线段的定义在图形的演示下，直观、生动再现图形形成的轨迹，利于概念的生成和记忆.在思考数学问题时，能画图尽量画图，目的是把抽象的东西直观的表示出来，把本质的东西显现出来，在学习数学时，应该指导学生养成一种用直观的图形语言，刻画、思考问题的习惯.利用图形来加强对概念、定理等的理解，实际上就是几何直观在发挥优势，也是培养数形结合的思想.如探索平面内的n个点，可以画多少条线段，通过点的位置不断变化，发现重要的结论：平面内有n个点，可以画几条线段，与点的位置无关，只与点的数量有关.

总之，学生数学空间观念和几何直观能力的培养是一个有机的统一体，其中一个能力得到提高，必定会带动另两个能力的提高，培养其中一种能力也必须考虑其他两个的影响.它们之间是相辅相成、相互影响、相互促进.几何直观能力是利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映和揭示思考、讨论问题的思路，揭示丰富多彩的数学思想.培养学生数学空间观念和几何直观能力，是新教材的要求，也是提高学生数学素质的要求.

[南京市溧水区第一初级中学 （211200）]