高职学生评价问题数学模型的构建

一、问题的提出

本文试图用运筹学的层次分析法来建立一个评价高职学生综合素质的数学模型，以全面反映学生的素质水平和学校的教育质量，为学校确立合理的教学目标和人才培养模式提供借鉴。

二、问题的分析

1.评价体系的层次结构

本文借用美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty等人在20世纪70年代中期提出的层次分析法（nalytic Hierarchy Process，简称AHP），建立评价学生成绩的层次结构，如图1所示。

在第三层之下为第四层，它们表示具体的课程或科目，视不同的学校和专业各有差异。对第四层的每门课或科目都有一个百分制的成绩评分，但考查方法因课程特点而不尽相同。不同的学校层次结构的分支可适当变通，集专家、教师讨论制定，使各层次的分支更为合理，便于操作。

2.确定权系数的方法

在层次分析法中，同一层中的各项成绩对上一层的贡献程度不是均等的，带有不同的权重，总成绩按加权平均计算。

设第k层某项的成绩y由第k+1层的n项成绩X1,X2…，Xn来确定，则有Y=W1X1+=W2X2+…+WnXn，其中Wi是第i项的权重，0＜Wi＜1，W1W2+…+Wn=1。为确定权系数Wi，本文采用了成对比较的方式。T.L.Saaty等人提出用1～9的尺度，如表1所示，解决了当比较同一层次的两个成绩Xi与Xj对于上层y的贡献程度时，采用何种相对尺度aij较好的问题。

表1 1～9尺度aij的含义

用此数据建立一个n阶方阵,它的（i，j）元素与（j，i）元素互为倒数，故称A为逆称矩阵。若A是一致阵，那是最理想的；否则，应使它的不一致尽量小。这样可以请m位专家给成对比较矩阵赋值：k=1，2…,m。然后，计算出赋予这m个数几何平均数,取逆称矩阵A=[Cij]。

按下述方程构造向量序列｛ek｝：

其中表示的n个分量之和。

用矩阵特征值理论可证明，迭代的n维向量序列收敛，记极限为e=(a1,a2，…，an)T。于是权系数可取作 Wi=ai,i=1,2，…,n)。这表明，成对比较的赋值蕴涵了各项的贡献程度。实际计算中，用有限次迭代，取e的近似即可。

三、模型的假设

该模型包括四个假设：一是智育、德育、体育和美育分别为评定学生是否优秀的主要因素，二是各项因素在综合素质成绩中的权重有可能因不同的学校和不同的专业而异，三是评定小组在评定同一学校同一专业的学生时各项因素的权重都是一样的，四是评定优秀学生时评定小组主要是参考有关专家给定各项因素的权重比例。

四、符号的约定

Z―最终目标（该学生的最后评定的成绩）；A―德育成绩；B―智育成绩；C―体育成绩；D―美育成绩；a―德育成绩所占的权重；β―智育成绩所占的权重；γ―体育成绩所占的权重；δ―美育成绩所占的权重。

ai―德育的第i门课程的成绩（i=1,2,3,…）

bi―智育的第i门课程的成绩（i=1,2,3,…）

ci―体育的第i门课程的成绩（i=1,2,3,…）

di―美育的第i门课程的成绩（i=1,2,3,…）

ai―德育的第i门课程的成绩所占的权重（i=1,2,3,…）

βi―智育的第i门课程的成绩所占的权重（i=1,2,3,…）

γi―体育的第i门课程的成绩所占的权重（i=1,2,3,…）

δi―美育的第i门课程的成绩所占的权重（i=1,2,3,…）

e0―原始向量序列；ei―第i个向量序列；（i=1,2,3,…）

―逆称矩阵（E）与第i-1个向量序列的乘积（i=1,2,3,…）

―ei的n个分量之和；E―逆称矩阵。

五、模型的建立及求解

1.名次的确定和分制

不考虑待评人员的意愿,按待评人员总成绩评定其在班级的名次。各科或者各项目都是以百分制为标准。

2.建立各因素的数学计算模型

（1）计算德育的数学模型。以某学年度学生所学的政治理论、法律知识和思想道德为主要的研究参照对象，其中每门课程的成绩以期末总评的成绩（ai）为准，德育的每门课程的成绩所占的权重（ai）由学校里面比较有权威的教师或专家商议决定,即给定了逆称矩阵（E）。那么容易得出计算德育的数学模型：其中而ai为第n个向量序列en的第i个分量。

（2）计算智育的数学模型。以某学年度学生所学的基础课、专业课和所做的实践创新为主要的研究参照对象，基础课、专业课和实践创新以期末总评的成绩（bi）为准。智育的每门课程的成绩所占的权重（βi）由学校里面比较有权威的教师或专家商议决定，即给定了逆称矩阵（E）。那么容易得出计算智育的数学模型：其中)而βi为第n个向量序列en的第i个分量。

（3）计算体育的数学模型。以某学年度学生所学的体育理论、体育达标为主要的研究参照对象，其中每门课程的成绩以期末总评的成绩（ci）为准，体育的每门课程的成绩所占的权重(γi)由学校里面比较有权威的教师或专家商议决定，即给定了逆称矩阵（E）。那么容易得出计算体育的数学模型：其中,而Υi为第n个向量序列en的第i个分量。

（4）计算美育的数学模型。以某学年度学生所学的文明礼貌和修养主要的研究参照对象，其中文明礼貌和修养的成绩（di）由教师或者班主任评定。美育每门课程成绩所占的权重（δi）由学校里面比较有权威的教师或专家商议决定，即给定了逆称矩阵（E）。那么容易得出计算美育的数学模型：其中而δi为第n个向量序列en的第i个分量。

3.建立计算该学生总成绩的数学模型

以上述所算得的智育、德育、体育和美育的成绩为主要的研究参照对象，其中智育、德育、体育和美育的成绩分别记为A、B、C和D，并且这四门课程的成绩所占的权重分别记为a、β、y和δ，也是由学校里面比较有权威的教师或专家商议决定，即给定了逆称矩阵（E）。那么容易得出计算总成绩的数学模型：Z=Aa+Bβ+Cy+Dδ，其中,,，而a、β、y、δ为第4个向量序列e4的4个分量。

六、模型的应用

1.计算智育的成绩

例1：设有一专家对智育的三个变量a1(基础课）、a2 (专业课）、a3（实践创新能力）作了成对比较，赋值为：。

于是得逆称矩阵:

同理可得：

取e4的分量作权，得评价智育成绩的公式：B=0.185b1 +0.659b2+0.156b3（其中b1、b2、b3分别为智育的基础课、专业课、实践创新的成绩）。

若某学生的基础课、专业课和实践创新成绩经测试分别为80、85、90分，则他的智育成绩为：B=0.185×80+

0.659×85+0.156×90=84.855。

2.计算总成绩

例2：某学校请两位专家F和G对德、智、体、美四个变量A、B、C、D作了成对比较，其赋值见表2.。

由此可得两个逆称矩阵：

同理可得:易得es=e4，故停止迭代。

由此得全面评价学生成绩的公式:Z=0.336A+0.475B +0.133C+0.056D 。

设有三名学生经各种考查,其德、智、体、美的成绩见表3。

可用前述的公式对三人作出综合的评价：

Z1=0.336×90+0.475×80+0.133×75+0.056×90=83.26

Z2 =0.336×80+0.475×95+0.133×80+0.056×70=86.57

Z3=0.336×85+0.475×90+0.133×70+0.056×80=85.10

三人的综合成绩排名为：乙、丙、甲。若按总分排名，则甲第一、乙和丙并列第二。层次分析法的关键在于，层次结构要合理，成对比较的逆称阵要可信，这需要对具体问题进行细心调查研究。要尽量使求权系数有较大的计算量，一旦求出来，便可在一定范围内普遍适用。

七、评价

为了检验评价体系和数学模型，笔者以06机电高1班和06计美高1班作为对象，使用上述评价体系进行测评。测评结果见表4。

表4 测评成绩分布

测评显示的结果与学生实际情况比较相符。从表4的测评结果得出：此评价体系从各个层面反映了学生的素质状况，反映出不同学生在德育、智育、体育和美育等方面的差异性，比较全面地体现了素质教育的综合性。该学生评价体系具有三个特点：一是具有一定的科学性，二是具有较好的可操作性，三是具有较强的实用性。

本文评价方法中的德育、智育、体育和美育所占的权重却是经过工作者利用层次分析法计算而得到的，这样就使我们可以根据不同的学校、不同的专业确定不同的德育、智育、体育和美育的权重，总成绩按加权平均计算。

（作者单位：广州市轻工技师学院）